Calcule a solução geral das seguintes equações:
2 t dy/dt + 2 y = t y^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial que envolve derivadas de em relação a . Para resolvê-la, vamos precisar utilizar métodos de resolução de equações diferenciais não lineares, especificamente a equação de Bernoulli.

Passo 2

Vamos reescrever a equação para facilitar a identificação do tipo:
Dividindo todos os termos por (assumindo ) para simplificar:

Passo 3

Observamos que a equação está na forma:
Onde:
Isso caracteriza uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:

Passo 4

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição:
No nosso caso, , então:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 5

Voltando à equação original após a divisão:
Substituindo pela expressão em termos de :
Multiplicando todos os termos por :
Agora, temos uma equação linear em termos de :
Onde:

Passo 6

Para resolver a equação linear, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos a equação por :
Escrevendo o lado esquerdo como derivada de um produto:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Então:
Lembrando que :
Invertendo e resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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