Calcule a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial que envolve derivadas de
em relação a
. Para resolvê-la, vamos precisar utilizar métodos de resolução de equações diferenciais não lineares, especificamente a equação de Bernoulli.
Passo 2
Vamos reescrever a equação para facilitar a identificação do tipo:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
) para simplificar:
Passo 3
Observamos que a equação está na forma:
Onde:
Isso caracteriza uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Passo 4
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição:
No nosso caso,
, então:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 5
Voltando à equação original após a divisão:
Substituindo
pela expressão em termos de
:
Multiplicando todos os termos por
:
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Onde:
Passo 6
Para resolver a equação linear, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos a equação por
:
Escrevendo o lado esquerdo como derivada de um produto:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então:
Lembrando que
:
Invertendo e resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.