Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
k * y'' + 5 * y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea de coeficientes constantes que a gente tem aqui: . Para isso, vamos utilizar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisaremos entender como formar a equação característica e encontrar suas raízes para montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por (assumindo que ):
Agora, temos uma equação diferencial mais simples na forma padrão.

Passo 3

Em seguida, vamos formar a equação característica associada a essa equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é:
No nosso caso, e . Então, a equação característica fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes :
Isso nos dá duas raízes reais e distintas:

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais e distintas e , a solução geral é:
Substituindo os valores das raízes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = 2x^2 - 1, y = 2 - x^4
Avalie as seguintes integrais definidas. integral-1^1|x| d x
Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = x^2 + 1, y = 4x - 2 (No primeiro quadrante)
Calcule a soma da série sumn=1^infty an cujas somas parciais são dadas: sn=n^2-14 n^2+2