Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial homogênea de coeficientes constantes que a gente tem aqui:
. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisaremos entender como formar a equação característica e encontrar suas raízes para montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
(assumindo que
):
Agora, temos uma equação diferencial mais simples na forma padrão.
Passo 3
Em seguida, vamos formar a equação característica associada a essa equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é:
No nosso caso,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar as raízes
:
Isso nos dá duas raízes reais e distintas:
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais e distintas
e
, a solução geral é:
Substituindo os valores das raízes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
(No primeiro quadrante)
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cujas somas parciais são dadas: