Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas
e
. Para isso, vamos usar o cálculo integrado, especificamente a área entre curvas. Vamos precisar achar onde essas curvas se encontram e depois integrar a diferença entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para resolver para
:
Isso é uma equação do quarto grau, mas podemos facilitar fazendo uma substituição. Seja
, então a equação fica:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática para
:
Isso nos dá duas soluções para
:
Como
não pode ser negativo, descartamos
.
Passo 5
Então, temos
, o que nos dá as soluções:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 6
Agora, vamos identificar qual curva está por cima entre
e
. Podemos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Vemos que
está acima de
nesse intervalo.
Passo 7
A área entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções de cima para baixo, de
a
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então,
Passo 8
Observamos que a função
é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo
. Isso significa que podemos calcular a integral de
a
e multiplicar por
:
Passo 9
Vamos agora integrar termo a termo:
Como estamos calculando a área, não precisamos da constante de integração
. Avaliamos essa expressão de
a
:
Passo 10
Calculando os valores numéricos:
Lembrando que multiplicamos por
devido à simetria:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades de área.
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Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
(No primeiro quadrante)