Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = 2x^2 - 1, y = 2 - x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas e . Para isso, vamos usar o cálculo integrado, especificamente a área entre curvas. Vamos precisar achar onde essas curvas se encontram e depois integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para resolver para :
Isso é uma equação do quarto grau, mas podemos facilitar fazendo uma substituição. Seja , então a equação fica:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática para :
Isso nos dá duas soluções para :
Como não pode ser negativo, descartamos .

Passo 5

Então, temos , o que nos dá as soluções:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 6

Agora, vamos identificar qual curva está por cima entre e . Podemos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Vemos que está acima de nesse intervalo.

Passo 7

A área entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções de cima para baixo, de a :
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então,
Á

Passo 8

Observamos que a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo . Isso significa que podemos calcular a integral de a e multiplicar por :
Á

Passo 9

Vamos agora integrar termo a termo:
Como estamos calculando a área, não precisamos da constante de integração . Avaliamos essa expressão de a :

Passo 10

Calculando os valores numéricos:
Lembrando que multiplicamos por devido à simetria:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades de área.

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