Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir.
(No primeiro quadrante)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante. Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente a integração para calcular áreas entre curvas. Não se preocupe, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso é importante porque esses pontos definirão os limites de integração para calcular a área entre elas.
Então, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Passo 4
Agora que temos os valores de
onde as curvas se intersectam (x = 1 e x = 3), precisamos verificar se esses pontos estão no primeiro quadrante. O primeiro quadrante é onde
e
.
Vamos calcular os valores de
para
e
:
Para
:
Para
:
Ambos os pontos estão no primeiro quadrante.
Passo 5
Agora, vamos identificar qual das duas funções está acima da outra entre
e
. Isso é importante para saber qual função subtrair da outra no cálculo da área.
Vamos testar um valor entre 1 e 3, por exemplo,
:
Para
:
Como
, a reta
está acima do parabola
nesse intervalo.
Passo 6
Agora que sabemos qual função está acima da outra, podemos configurar a integral para encontrar a área entre
e
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Agora, aplicamos os limites de 1 a 3:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, subtraímos os resultados:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante é
unidades de área.
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