Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = x^2 + 1, y = 4x - 2 (No primeiro quadrante)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas e no primeiro quadrante. Para isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente a integração para calcular áreas entre curvas. Não se preocupe, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso é importante porque esses pontos definirão os limites de integração para calcular a área entre elas.
Então, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Então, as soluções são:

Passo 4

Agora que temos os valores de onde as curvas se intersectam (x = 1 e x = 3), precisamos verificar se esses pontos estão no primeiro quadrante. O primeiro quadrante é onde e .
Vamos calcular os valores de para e :
Para :
Para :
Ambos os pontos estão no primeiro quadrante.

Passo 5

Agora, vamos identificar qual das duas funções está acima da outra entre e . Isso é importante para saber qual função subtrair da outra no cálculo da área.
Vamos testar um valor entre 1 e 3, por exemplo, :
Para :
Como , a reta está acima do parabola nesse intervalo.

Passo 6

Agora que sabemos qual função está acima da outra, podemos configurar a integral para encontrar a área entre e :
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Agora, aplicamos os limites de 1 a 3:
Á
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 8

Agora, subtraímos os resultados:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e no primeiro quadrante é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule a solução geral das seguintes equações homogêneas de coeficientes constantes:
k * y'' + 5 * y' = 0
Encontre a área da região limitada pelas retas e pelas curvas dadas a seguir. y = 2x^2 - 1, y = 2 - x^4
Calcule a soma da série sumn=1^infty an cujas somas parciais são dadas: sn=n^2-14 n^2+2
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: 1.5 y'' - y = 4 cos(x)