Calcule a soma da série
cujas somas parciais são dadas:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente precisa calcular a soma de uma série infinita, representada por
, onde as somas parciais dessa série são dadas por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries, somas parciais e limites.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que uma série é simplesmente a soma de infinitos termos. A soma total dessa série, se existir, é chamada de limite das somas parciais quando o número de termos tende ao infinito. Ou seja, para encontrar a soma da série, a gente precisa calcular o limite de
quando
vai para o infinito:
Passo 3
Agora, vamos calcular esse limite. Temos a expressão das somas parciais:
Para achar o limite quando
cresce sem parar, uma boa estratégia é dividir o numerador e o denominador pelo termo de maior grau, que nesse caso é
.
Passo 4
Dividindo cada termo por
, ficamos com:
Agora, observamos o que acontece quando
tende ao infinito.
Passo 5
Quando
vai para o infinito, os termos
se aproximam de zero. Então, simplificando:
Resposta
A soma da série é
.
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