Calcule a soma da série sumn=1^infty an cujas somas parciais são dadas: sn=n^2-14 n^2+2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente precisa calcular a soma de uma série infinita, representada por sumn=1^infty an, onde as somas parciais dessa série são dadas por sn=n^2-14 n^2+2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries, somas parciais e limites.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que uma série é simplesmente a soma de infinitos termos. A soma total dessa série, se existir, é chamada de limite das somas parciais quando o número de termos tende ao infinito. Ou seja, para encontrar a soma da série, a gente precisa calcular o limite de sn quando n vai para o infinito:
sumn=1^infty an = limn to infty sn

Passo 3

Agora, vamos calcular esse limite. Temos a expressão das somas parciais:
sn = n^2 - 14 n^2 + 2
Para achar o limite quando n cresce sem parar, uma boa estratégia é dividir o numerador e o denominador pelo termo de maior grau, que nesse caso é n^2.

Passo 4

Dividindo cada termo por n^2, ficamos com:
sn = 1 - 1n^24 + 2n^2
Agora, observamos o que acontece quando n tende ao infinito.

Passo 5

Quando n vai para o infinito, os termos 1n^2 se aproximam de zero. Então, simplificando:
limn to infty sn = 1 - 04 + 0 = 14

Resposta

A soma da série é 14.

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