Seja f(x)=sumn=1^+infty (-1)^n+1n 5^n x^n. Qual o domínio da função f ? D(f)=(-15, 15)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função que é definida por uma soma infinita: . A pergunta é: qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de essa soma infinita converge e a função está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e testar a convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a função é uma série de potências. Esse tipo de série tem a forma geral , onde é o centro da série. No nosso caso, o centro é 0, então temos , onde .

Passo 3

Para encontrar o domínio da função, precisamos determinar os valores de para os quais essa série converge. Uma das ferramentas que podemos usar para isso é o Raio de Convergência, que nos diz até onde a série converge de forma absoluta. Vamos calcular o raio de convergência usando o Teste da Razão.

Passo 4

O Teste da Razão diz que para uma série , se , então:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série.

Passo 5

Vamos calcular | an+1an | = | (-1)^(n+1)+1(n+1) cdot 5^n+1 (-1)^n+1n cdot 5^n | = | (-1)^n+2 (n+1) cdot 5^n+1 cdot n cdot 5^n (-1)^n+1 | = | nn+1 cdot 15 | = nn+1 cdot 15 :

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty nn+1 cdot 15 = limn to infty 11 + 1n cdot 15 = 1 cdot 15 = 15 tende ao infinito:

Passo 7

De acordo com o Teste da Razão, como , a série converge absolutamente para . Portanto, o raio de convergência é .

Passo 8

Isso significa que a série converge para todos os valores de tais que . Ou seja, o domínio da função é o intervalo aberto .

Resposta

O domínio da função é .

Exercícios relacionados