Calcule a solução do seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
r 10 x-3 y+4 z=6 5 x+y+2 z=1 2 x+y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com três incógnitas: , e . A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar aplicar o método de eliminação, que ajuda a simplificar as equações passo a passo até encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
10x - 3y + 4z = 6 5x + y + 2z = 1 2x + y + z = 0
Nosso objetivo é reduzir esse sistema até encontrar valores claros para , e .

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das variáveis de duas equações. Vou optar por eliminar 3 times (5x + y + 2z) = 3 times 1 15x + 3y + 6z = 3 . Para isso, vamos manipular as equações para que os coeficientes de 10x - 3y + 4z = 6 (Equação 1) 15x + 3y + 6z = 3 (Equação 2') se cancelem.
Vamos multiplicar a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação:
Agora, temos:
çãçã

Passo 4

Agora, somamos a Equação 1 com a Equação 2’ para eliminar (10x - 3y + 4z) + (15x + 3y + 6z) = 6 + 3 25x + 10z = 9 :
5x + 2z = 95 (Equação 4)
Simplificando, podemos dividir tudo por 5:
çã

Passo 5

Vamos agora trabalhar com a terceira equação e a segunda original para eliminar 2x + y + z = 0 (Equação 3) . A terceira equação é:
(2x + y + z) - (5x + y + 2z) = 0 - 1 -3x - z = -1 çã
Vamos subtrair a segunda equação da terceira para eliminar 3x + z = 1 (Equação 5) :
Multiplicando por -1 para simplificar:
çã

Passo 6

Agora temos duas equações com duas variáveis:
5x + 2z = 95 (Equação 4) 3x + z = 1 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver essas equações para encontrar z = 1 - 3x e . Podemos resolver a Equação 5 para :

Passo 7

Substituímos 5x + 2(1 - 3x) = 95 5x + 2 - 6x = 95 - x + 2 = 95 - x = 95 - 2 - x = 95 - 105 - x = -15 x = 15 na Equação 4:

Passo 8

Com z = 1 - 3 times 15 z = 1 - 35 z = 55 - 35 z = 25 , vamos encontrar usando a Equação 5:

Passo 9

Agora que temos 2x + y + z = 0 2 times 15 + y + 25 = 0 25 + y + 25 = 0 y + 45 = 0 y = -45 e , vamos encontrar usando a Equação 3:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 15, y = -45, z = 25

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