Calcule a solução do seguinte sistema linear nas incógnitas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com três incógnitas: , e . A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar aplicar o método de eliminação, que ajuda a simplificar as equações passo a passo até encontrar os valores das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
10x - 3y + 4z = 6 5x + y + 2z = 1 2x + y + z = 0
Nosso objetivo é reduzir esse sistema até encontrar valores claros para , e .
Passo 3
Vamos começar eliminando uma das variáveis de duas equações. Vou optar por eliminar 3 times (5x + y + 2z) = 3 times 1 15x + 3y + 6z = 3 . Para isso, vamos manipular as equações para que os coeficientes de 10x - 3y + 4z = 6 (Equação 1) 15x + 3y + 6z = 3 (Equação 2') se cancelem.
Vamos multiplicar a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação:
Agora, temos:
çãçã
Passo 4
Agora, somamos a Equação 1 com a Equação 2’ para eliminar (10x - 3y + 4z) + (15x + 3y + 6z) = 6 + 3 25x + 10z = 9 :
5x + 2z = 95 (Equação 4)
Simplificando, podemos dividir tudo por 5:
çã
Passo 5
Vamos agora trabalhar com a terceira equação e a segunda original para eliminar 2x + y + z = 0 (Equação 3) . A terceira equação é:
(2x + y + z) - (5x + y + 2z) = 0 - 1 -3x - z = -1 çã
Vamos subtrair a segunda equação da terceira para eliminar 3x + z = 1 (Equação 5) :