Sejam u=3 i-4 j+2 z, v=2 i+5 j-3 k, e w=4 i+7 j+2 k. Encontre v times w

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu três vetores no espaço tridimensional: u=3 i-4 j+2 k, v=2 i+5 j-3 k e w=4 i+7 j+2 k. A tarefa é encontrar o produto vetorial entre os vetores v e w, ou seja, calcular v times w. Para isso, vamos usar a matéria de Álgebra Vetorial, especificamente a fórmula do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial v times w é baseada em determinantes e fica assim:
v times w = i & j & k vx & vy & vz wx & wy & wz
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente, e vx, vy, vz são as componentes de v, e wx, wy, wz são as componentes de w.

Passo 3

Vamos montar o determinante com as componentes dos vetores v e w. Substituindo os valores, temos:
v times w = i & j & k 2 & 5 & -3 4 & 7 & 2

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante. A regra para determinantes 3x3 nos diz que:
v times w = i(5 cdot 2 - (-3) cdot 7) - j(2 cdot 2 - (-3) cdot 4) + k(2 cdot 7 - 5 cdot 4)
Fazendo as contas dentro dos parênteses:
  • Para i: 5 cdot 2 = 10 e (-3) cdot 7 = -21, então 10 - (-21) = 31
  • Para j: 2 cdot 2 = 4 e (-3) cdot 4 = -12, então 4 - (-12) = 16
  • Para k: 2 cdot 7 = 14 e 5 cdot 4 = 20, então 14 - 20 = -6
Substituindo de volta:
v times w = 31i - 16j - 6k

Passo 5

Finalmente, juntando tudo, o vetor resultante do produto vetorial é:
v times w = 31i - 16j - 6k

Resposta

O produto vetorial v times w é igual a 31i - 16j - 6k.

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