Beleza, vamos lá! A gente recebeu três vetores no espaço tridimensional: , e . A tarefa é encontrar o produto vetorial entre os vetores e , ou seja, calcular . Para isso, vamos usar a matéria de Álgebra Vetorial, especificamente a fórmula do produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular o produto vetorial é baseada em determinantes e fica assim:
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente, e vx, vy, vz são as componentes de v, e wx, wy, wz são as componentes de w.
Passo 3
Vamos montar o determinante com as componentes dos vetores v e w. Substituindo os valores, temos:
v times w = i & j & k 2 & 5 & -3 4 & 7 & 2
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante. A regra para determinantes 3x3 nos diz que:
v times w = i(5 cdot 2 - (-3) cdot 7) - j(2 cdot 2 - (-3) cdot 4) + k(2 cdot 7 - 5 cdot 4)
Fazendo as contas dentro dos parênteses:
Para i: 5 cdot 2 = 10 e (-3) cdot 7 = -21, então 10 - (-21) = 31
Para j: 2 cdot 2 = 4 e (-3) cdot 4 = -12, então 4 - (-12) = 16
Para k: 2 cdot 7 = 14 e 5 cdot 4 = 20, então 14 - 20 = -6
Substituindo de volta:
v times w = 31i - 16j - 6k
Passo 5
Finalmente, juntando tudo, o vetor resultante do produto vetorial é:
v times w = 31i - 16j - 6k
Resposta
O produto vetorial v times w é igual a 31i - 16j - 6k.