Determine a solução geral do sistema linear homogêneo
r 3 x+2 y-z=0 4 x+5 y+2 z=0 -2 x+y+4 z=0

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse sistema linear homogêneo que você enviou. Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com a resolução de sistemas de equações lineares. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema e encontrar as soluções possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
r 3x + 2y - z = 0 4x + 5y + 2z = 0 -2x + y + 4z = 0

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz aumentada desse sistema, que combina os coeficientes das variáveis com os termos constantes:
3 & 2 & -1 & | & 0 4 & 5 & 2 & | & 0 -2 & 1 & 4 & | & 0

Passo 4

Vamos aplicar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em forma escalonada, facilitando a resolução. Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (3 na posição (1,1)).
Primeiro, vamos zerar o elemento (2,1). Para isso, podemos substituir a segunda linha pela combinação apropriada:
L2 = L2 - (43)L1
Calculando:
4 - (43times 3) = 4 - 4 = 0 5 - (43times 2) = 5 - 83 = 73 2 - (43times (-1)) = 2 + 43 = 103 0 - (43times 0) = 0
Então, a nova segunda linha fica:
[0 73 103 | 0]

Passo 5

Em seguida, vamos zerar o elemento (3,1). Para isso, substituímos a terceira linha pela seguinte combinação:
L3 = L3 + (23)L1
Calculando:
-2 + (23times 3) = -2 + 2 = 0 1 + (23times 2) = 1 + 43 = 73 4 + (23times (-1)) = 4 - 23 = 103 0 + (23times 0) = 0
A nova terceira linha fica:
[0 73 103 | 0]

Passo 6

Observamos que a segunda e a terceira linhas são iguais. Isso significa que uma delas é redundante. Vamos simplificar retirando a terceira linha:
3 & 2 & -1 & | & 0 0 & 73 & 103 & | & 0

Passo 7

Agora, podemos simplificar a segunda linha multiplicando por 3 para eliminar os denominadores:
L2 = 3 times L2
Isso resulta em:
[0 7 10 | 0]
Então, a matriz fica:
3 & 2 & -1 & | & 0 0 & 7 & 10 & | & 0

Passo 8

Vamos isolar as variáveis. A partir da segunda linha:
7y + 10z = 0 Rightarrow y = -107z
Aqui, escolhemos como variável livre, pois não está limitada por nenhuma equação.

Passo 9

Agora, substituímos 3x + 2(-107z) - z = 0 3x - 207z - z = 0 3x - 277z = 0 Rightarrow x = 2721z = 97z na primeira equação para encontrar :

Passo 10

Como escolhemos x = 97z y = -107z z = z como variável livre, podemos expressar a solução geral em termos de x y z = z cdot 97 -107 1 :
Podemos escrever isso de forma vetorial:

Resposta

A solução geral do sistema é dada por todos os vetores múltiplos de x = 97z, y = -107z, z = z onde z in R , onde é um número real. Em forma paramétrica:

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