Determine a solução geral do sistema linear homogêneo
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse sistema linear homogêneo que você enviou. Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com a resolução de sistemas de equações lineares. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema e encontrar as soluções possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
r 3x + 2y - z = 0 4x + 5y + 2z = 0 -2x + y + 4z = 0
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz aumentada desse sistema, que combina os coeficientes das variáveis com os termos constantes:
Vamos aplicar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em forma escalonada, facilitando a resolução. Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (3 na posição (1,1)).
Primeiro, vamos zerar o elemento (2,1). Para isso, podemos substituir a segunda linha pela combinação apropriada:
Observamos que a segunda e a terceira linhas são iguais. Isso significa que uma delas é redundante. Vamos simplificar retirando a terceira linha:
3 & 2 & -1 & | & 0 0 & 73 & 103 & | & 0
Passo 7
Agora, podemos simplificar a segunda linha multiplicando por 3 para eliminar os denominadores:
L2 = 3 times L2
Isso resulta em:
[0 7 10 | 0]
Então, a matriz fica:
3 & 2 & -1 & | & 0 0 & 7 & 10 & | & 0
Passo 8
Vamos isolar as variáveis. A partir da segunda linha:
7y + 10z = 0 Rightarrow y = -107z
Aqui, escolhemos como variável livre, pois não está limitada por nenhuma equação.
Passo 9
Agora, substituímos 3x + 2(-107z) - z = 0 3x - 207z - z = 0 3x - 277z = 0 Rightarrow x = 2721z = 97z na primeira equação para encontrar :
Passo 10
Como escolhemos x = 97z y = -107z z = z como variável livre, podemos expressar a solução geral em termos de x y z = z cdot 97 -107 1 :
Podemos escrever isso de forma vetorial:
Resposta
A solução geral do sistema é dada por todos os vetores múltiplos de x = 97z, y = -107z, z = z onde z in R , onde é um número real. Em forma paramétrica: