Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas e .
Determine condições sobre e para que este sistema admita alguma solução. Neste caso este sistema possui uma única solução ou ele possui infinitas soluções? Dê o conjunto solução deste sistema linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que envolve as incógnitas , e . O enunciado pede para a gente descobrir quais condições os valores de , e precisam satisfazer para que o sistema tenha solução. Além disso, queremos saber se essa solução é única ou se tem várias possíveis, e também qual é o conjunto solução. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações dado de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor o problema. Temos:
Podemos representar isso na forma de uma matriz aumentada:

Passo 3

Para saber se o sistema tem soluções, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar se as equações são compatíveis (têm solução) ou não.
A matriz dos coeficientes é:
Vamos calcular o determinante de , que chamaremos de .

Passo 4

Usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace para matrizes 3x3, vamos calcular :
Calculando termo a termo:
Somando tudo:
Oops, parece que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer de forma mais organizada.

Passo 5

Vamos reescrever o determinante de forma mais clara:
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Então, o determinante .

Passo 6

Como , o sistema não tem uma única solução. Agora precisamos verificar se o sistema é compatível ou incompatível.
Para isso, vamos analisar o posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada. Se os postos forem iguais, o sistema é compatível; caso contrário, é incompatível.

Passo 7

Vamos montar a matriz aumentada:
Agora, vamos aplicar operações das linhas para reduzir a matriz e encontrar os postos.

Passo 8

Começamos simplificando:
  1. Deixe a primeira linha como está.
  2. Subtraia 4 vezes a primeira linha da segunda linha.
  3. Adicione 3 vezes a primeira linha à terceira linha.
Aplicando:
  • Segunda linha:
  • Terceira linha:
Isso resulta em:

Passo 9

Agora, vamos somar a segunda linha com a terceira linha para eliminar o termo de :
  • Terceira linha:

Passo 10

Observamos a última linha:
Para que o sistema seja compatível, essa equação deve ser verdadeira. Ou seja:
Então, a condição para que o sistema tenha solução é .

Passo 11

Como e encontramos que , o sistema é compatível indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.

Passo 12

Para encontrar o conjunto solução, vamos expressar as variáveis em termos de um parâmetro livre. Vamos escolher , onde pode ser qualquer número real.
A partir da segunda linha reduzida:
Substituindo :
Resolvendo para :
Agora, da primeira linha:
Substituindo e :
Resolvendo para :

Resposta

As condições para que o sistema tenha solução são . Nesse caso, o sistema possui infinitas soluções e o conjunto solução é dado por:

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Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores e
Calcule a solução do seguinte sistema linear nas incógnitas e .
(a) Calcule a inversa da seguinte matriz.
(b) Determine a solução do seguinte sistema linear, que tem como matriz de coeficientes a matriz do item (a).
Determine uma matriz tal que , sendo