Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
x-2 y+5 z & =a 4 x-5 y+8 z & =b -3 x+3 y-3 z & =c
Determine condições sobre a, b e c para que este sistema admita alguma solução. Neste caso este sistema possui uma única solução ou ele possui infinitas soluções? Dê o conjunto solução deste sistema linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que envolve as incógnitas , e . O enunciado pede para a gente descobrir quais condições os valores de , e precisam satisfazer para que o sistema tenha solução. Além disso, queremos saber se essa solução é única ou se tem várias possíveis, e também qual é o conjunto solução. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações dado de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor o problema. Temos:
x - 2y + 5z = a 4x - 5y + 8z = b -3x + 3y - 3z = c
Podemos representar isso na forma de uma matriz aumentada:
1 & -2 & 5 & | & a 4 & -5 & 8 & | & b -3 & 3 & -3 & | & c

Passo 3

Para saber se o sistema tem soluções, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar se as equações são compatíveis (têm solução) ou não.
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & -2 & 5 4 & -5 & 8 -3 & 3 & -3
Vamos calcular o determinante de , que chamaremos de .

Passo 4

Usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace para matrizes 3x3, vamos calcular De:
De
Calculando termo a termo:
De
Somando tudo:
Oops, parece que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer de forma mais organizada.

Passo 5

Vamos reescrever o determinante de forma mais clara:
De
Substituindo os valores:
De
Calculando cada parte:
De
De
De
Então, o determinante .

Passo 6

Como , o sistema não tem uma única solução. Agora precisamos verificar se o sistema é compatível ou incompatível.
Para isso, vamos analisar o posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada. Se os postos forem iguais, o sistema é compatível; caso contrário, é incompatível.

Passo 7

Vamos montar a matriz aumentada:
A' = 1 & -2 & 5 & | & a 4 & -5 & 8 & | & b -3 & 3 & -3 & | & c
Agora, vamos aplicar operações das linhas para reduzir a matriz e encontrar os postos.

Passo 8

Começamos simplificando:
  1. Deixe a primeira linha como está.
  2. Subtraia 4 vezes a primeira linha da segunda linha.
  3. Adicione 3 vezes a primeira linha à terceira linha.
Aplicando:
  • Segunda linha: A' = 1 & -2 & 5 & | & a 0 & 3 & -12 & | & b - 4a 0 & -3 & 12 & | & c + 3a
  • Terceira linha:
Isso resulta em:

Passo 9

Agora, vamos somar a segunda linha com a terceira linha para eliminar o termo de A' = 1 & -2 & 5 & | & a 0 & 3 & -12 & | & b - 4a 0 & 0 & 0 & | & b - 4a + c + 3a = b - a + c :
  • Terceira linha:

Passo 10

Observamos a última linha:
0x + 0y + 0z = b - a + c
Para que o sistema seja compatível, essa equação deve ser verdadeira. Ou seja:
b - a + c = 0 Rightarrow a = b + c
Então, a condição para que o sistema tenha solução é .

Passo 11

Como e encontramos que , o sistema é compatível indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.

Passo 12

Para encontrar o conjunto solução, vamos expressar as variáveis em termos de um parâmetro livre. Vamos escolher 3y - 12z = b - 4a , onde 3y - 12t = b - 4(b + c) = b - 4b - 4c = -3b - 4c pode ser qualquer número real.
A partir da segunda linha reduzida:
3y = -3b - 4c + 12t y = -b - 43c + 4t
Substituindo x - 2y + 5z = a = b + c :
x - 2(-b - 43c + 4t) + 5t = b + c x + 2b + 83c - 8t + 5t = b + c x + 2b + 83c - 3t = b + c
Resolvendo para x = b + c - 2b - 83c + 3t x = -b - 53c + 3t :
Agora, da primeira linha:
Substituindo e :
Resolvendo para :

Resposta

As condições para que o sistema tenha solução são x = -b - 53c + 3t y = -b - 43c + 4t z = t onde t in R . Nesse caso, o sistema possui infinitas soluções e o conjunto solução é dado por:

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