Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas e .
Determine condições sobre e para que este sistema admita alguma solução. Neste caso este sistema possui uma única solução ou ele possui infinitas soluções? Dê o conjunto solução deste sistema linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear que envolve as incógnitas , e . O enunciado pede para a gente descobrir quais condições os valores de , e precisam satisfazer para que o sistema tenha solução. Além disso, queremos saber se essa solução é única ou se tem várias possíveis, e também qual é o conjunto solução. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações dado de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor o problema. Temos:
Podemos representar isso na forma de uma matriz aumentada:
Passo 3
Para saber se o sistema tem soluções, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar se as equações são compatíveis (têm solução) ou não.
A matriz dos coeficientes é:
Vamos calcular o determinante de , que chamaremos de .
Passo 4
Usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace para matrizes 3x3, vamos calcular :
Calculando termo a termo:
Somando tudo:
Oops, parece que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer de forma mais organizada.
Passo 5
Vamos reescrever o determinante de forma mais clara:
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Então, o determinante .
Passo 6
Como , o sistema não tem uma única solução. Agora precisamos verificar se o sistema é compatível ou incompatível.
Para isso, vamos analisar o posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada. Se os postos forem iguais, o sistema é compatível; caso contrário, é incompatível.
Passo 7
Vamos montar a matriz aumentada:
Agora, vamos aplicar operações das linhas para reduzir a matriz e encontrar os postos.
Passo 8
Começamos simplificando:
Deixe a primeira linha como está.
Subtraia 4 vezes a primeira linha da segunda linha.
Adicione 3 vezes a primeira linha à terceira linha.
Aplicando:
Segunda linha:
Terceira linha:
Isso resulta em:
Passo 9
Agora, vamos somar a segunda linha com a terceira linha para eliminar o termo de :
Terceira linha:
Passo 10
Observamos a última linha:
Para que o sistema seja compatível, essa equação deve ser verdadeira. Ou seja:
Então, a condição para que o sistema tenha solução é .
Passo 11
Como e encontramos que , o sistema é compatível indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.
Passo 12
Para encontrar o conjunto solução, vamos expressar as variáveis em termos de um parâmetro livre. Vamos escolher , onde pode ser qualquer número real.
A partir da segunda linha reduzida:
Substituindo :
Resolvendo para :
Agora, da primeira linha:
Substituindo e :
Resolvendo para :
Resposta
As condições para que o sistema tenha solução são . Nesse caso, o sistema possui infinitas soluções e o conjunto solução é dado por: