Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas e .
Determine condições sobre a, b e c para que este sistema admita alguma solução. Neste caso este sistema possui uma única solução ou ele possui infinitas soluções? Dê o conjunto solução deste sistema linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear que envolve as incógnitas , e . O enunciado pede para a gente descobrir quais condições os valores de , e precisam satisfazer para que o sistema tenha solução. Além disso, queremos saber se essa solução é única ou se tem várias possíveis, e também qual é o conjunto solução. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações dado de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor o problema. Temos:
x - 2y + 5z = a 4x - 5y + 8z = b -3x + 3y - 3z = c
Podemos representar isso na forma de uma matriz aumentada:
1 & -2 & 5 & | & a 4 & -5 & 8 & | & b -3 & 3 & -3 & | & c
Passo 3
Para saber se o sistema tem soluções, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução. Se for zero, precisamos verificar se as equações são compatíveis (têm solução) ou não.
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & -2 & 5 4 & -5 & 8 -3 & 3 & -3
Vamos calcular o determinante de , que chamaremos de .
Passo 4
Usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace para matrizes 3x3, vamos calcular De:
De
Calculando termo a termo:
De
Somando tudo:
Oops, parece que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer de forma mais organizada.
Passo 5
Vamos reescrever o determinante de forma mais clara:
De
Substituindo os valores:
De
Calculando cada parte:
De
De
De
Então, o determinante .
Passo 6
Como , o sistema não tem uma única solução. Agora precisamos verificar se o sistema é compatível ou incompatível.
Para isso, vamos analisar o posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada. Se os postos forem iguais, o sistema é compatível; caso contrário, é incompatível.
Passo 7
Vamos montar a matriz aumentada:
A' = 1 & -2 & 5 & | & a 4 & -5 & 8 & | & b -3 & 3 & -3 & | & c
Agora, vamos aplicar operações das linhas para reduzir a matriz e encontrar os postos.
Passo 8
Começamos simplificando:
Deixe a primeira linha como está.
Subtraia 4 vezes a primeira linha da segunda linha.
Adicione 3 vezes a primeira linha à terceira linha.
Aplicando:
Segunda linha: A' = 1 & -2 & 5 & | & a 0 & 3 & -12 & | & b - 4a 0 & -3 & 12 & | & c + 3a
Terceira linha:
Isso resulta em:
Passo 9
Agora, vamos somar a segunda linha com a terceira linha para eliminar o termo de A' = 1 & -2 & 5 & | & a 0 & 3 & -12 & | & b - 4a 0 & 0 & 0 & | & b - 4a + c + 3a = b - a + c :
Terceira linha:
Passo 10
Observamos a última linha:
0x + 0y + 0z = b - a + c
Para que o sistema seja compatível, essa equação deve ser verdadeira. Ou seja:
b - a + c = 0 Rightarrow a = b + c
Então, a condição para que o sistema tenha solução é .
Passo 11
Como e encontramos que , o sistema é compatível indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.
Passo 12
Para encontrar o conjunto solução, vamos expressar as variáveis em termos de um parâmetro livre. Vamos escolher 3y - 12z = b - 4a , onde 3y - 12t = b - 4(b + c) = b - 4b - 4c = -3b - 4c pode ser qualquer número real.
A partir da segunda linha reduzida:
3y = -3b - 4c + 12t y = -b - 43c + 4t
Substituindo x - 2y + 5z = a = b + c :
x - 2(-b - 43c + 4t) + 5t = b + c x + 2b + 83c - 8t + 5t = b + c x + 2b + 83c - 3t = b + c
Resolvendo para x = b + c - 2b - 83c + 3t x = -b - 53c + 3t :
Agora, da primeira linha:
Substituindo e :
Resolvendo para :
Resposta
As condições para que o sistema tenha solução são x = -b - 53c + 3t y = -b - 43c + 4t z = t onde t in R . Nesse caso, o sistema possui infinitas soluções e o conjunto solução é dado por: