Calcule a solução do seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
l 6 x+8 y-z=3 4 x-6 y+z=8 9 x-4 y-z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares com as incógnitas , e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
6x + 8y - z = 3 4x - 6y + z = 8 9x - 4y - z = 0
Nossa ideia é eliminar uma das variáveis de duas equações para facilitar. Vamos começar eliminando .

Passo 3

Para eliminar (6x + 8y - z) + (4x - 6y + z) = 3 + 8 , podemos somar a primeira e a segunda equação:
10x + 2y = 11
Isso simplifica para:
Vamos chamar essa de Equação 4.

Passo 4

Agora, vamos eliminar (6x + 8y - z) - (9x - 4y - z) = 3 - 0 entre a primeira e a terceira equação. Fazemos:
-3x + 12y = 3
Simplificando:
Vamos chamar essa de Equação 5.

Passo 5

Agora temos duas equações com apenas 10x + 2y = 11 (Equação 4) -3x + 12y = 3 (Equação 5) e 5x + y = 5.5 (Equação 6) :
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos simplificar a Equação 4 dividindo tudo por 2:
çã

Passo 6

Agora, da Equação 6, expressamos y = 5.5 - 5x em função de -3x + 12(5.5 - 5x) = 3 :
Vamos substituir esse valor de na Equação 5:

Passo 7

Vamos distribuir e simplificar:
-3x + 66 - 60x = 3 -63x + 66 = 3
Agora, isolamos -63x = 3 - 66 -63x = -63 x = 1 :

Passo 8

Com o valor de 5(1) + y = 5.5 5 + y = 5.5 y = 0.5 , voltamos para a Equação 6 para encontrar :

Passo 9

Agora, com 6(1) + 8(0.5) - z = 3 6 + 4 - z = 3 10 - z = 3 -z = -7 z = 7 e , substituímos na primeira equação original para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é , e .

Exercícios relacionados