Determine a solução geral do sistema linear
rr 2 x+y+4 z-2 w= & 6 3 x+2 y+z-3 w= & -2 4 x+3 y-2 z-5 w= & 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear que você me passou. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente a resolução de sistemas de equações lineares. Vamos precisar usar métodos como a substituição ou a eliminação para encontrar os valores das incógnitas e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações de forma organizada:
2x + y + 4z - 2w = 6 (Equação 1) 3x + 2y + z - 3w = -2 (Equação 2) 4x + 3y - 2z - 5w = 0 (Equação 3) çãçãçã

Passo 3

Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos eliminar 6x + 3y + 12z - 6w = 18 (Equação 1 mu começando pelas Equações 1 e 2. Para isso, vamos multiplicar a Equação 1 por 3 e a Equação 2 por 2 para igualar os coeficientes de :
çãçã

Passo 4

Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar (6x + 3y + 12z - 6w) - (6x + 4y + 2z - 6w) = 18 - (-4) :
0x - y + 10z = 22 (Equação 4)
çã

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para as Equações 1 e 3 para eliminar 4x + 2y + 8z - 4w = 12 (Equação 1 mu. Multiplicamos a Equação 1 por 2 e a Equação 3 por 1:
çãçã

Passo 6

Subtraindo a Equação 3 da nova Equação 1 para eliminar (4x + 2y + 8z - 4w) - (4x + 3y - 2z - 5w) = 12 - 0 :
0x - y + 10z + w = 12 (Equação 5)
çã

Passo 7

Agora temos um sistema com duas equações (Equação 4 e Equação 5) e duas variáveis - y + 10z = 22 (Equação 4) - y + 10z + w = 12 (Equação 5) e (- y + 10z + w) - (- y + 10z) = 12 - 22 :
w = -10 çãçã
Vamos subtrair a Equação 4 da Equação 5 para encontrar :

Passo 8

Com - y + 10z = 22 , vamos substituir esse valor na Equação 4 para encontrar y = 10z - 22 :

Passo 9

Agora que temos 2x + y + 4z - 2w = 6 e 2x + (10z - 22) + 4z - 2(-10) = 6 em termos de 2x + 10z - 22 + 4z + 20 = 6 , vamos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar 2x + 14z - 2 = 6 :
2x + 14z = 8
x = 8 - 14z2 = 4 - 7z

Resposta

A solução geral do sistema é:
x = 4 - 7z y = 10z - 22 z = z w = -10
Onde é um parâmetro livre que pode assumir qualquer valor real.

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