Determine a matriz
, solução da equação
, sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz
que satisfaz a equação
. Aqui,
,
e
são matrizes dadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como operações com matrizes e inversas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar a matriz
na equação. Para isso, vamos subtrair
de ambos os lados da equação:
Assim, a gente tem
igual a
. Agora, queremos encontrar
, então precisamos “desfazer” o
que está multiplicando
.
Passo 3
Para isolar
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela matriz inversa de
, que chamamos de
. A propriedade que usamos aqui é:
Onde
é a matriz identidade. Então, multiplicando ambos os lados por
:
Isso simplifica para:
E como
, temos:
Agora, precisamos calcular
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular
e
primeiro.
Multiplicando a matriz
por 5:
E multiplicando a matriz
por 2:
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inversa da matriz
. A matriz
é:
A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2
é:
Calculando o determinante de
:
Então, a inversa de
é:
Passo 6
Finalmente, vamos multiplicar
pela matriz que encontramos no Passo 4:
Vamos fazer a multiplicação:
Resposta
A matriz solução
é: