Determine a matriz X, solução da equação A X+2 B=5 C, sendo
A=[ll 5 & 7 2 & 3 ] , B=[rr 3 & -1 -3 & 5 ] e C=[rr 1 & 1 -1 & 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz que satisfaz a equação . Aqui, , e são matrizes dadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como operações com matrizes e inversas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a matriz A X = 5 C - 2 B na equação. Para isso, vamos subtrair de ambos os lados da equação:
Assim, a gente tem igual a . Agora, queremos encontrar , então precisamos “desfazer” o que está multiplicando .

Passo 3

Para isolar A^-1 A = I , vamos multiplicar ambos os lados da equação pela matriz inversa de A^-1 A X = A^-1 (5 C - 2 B) , que chamamos de I X = A^-1 (5 C - 2 B) . A propriedade que usamos aqui é:
X = A^-1 (5 C - 2 B)
Onde é a matriz identidade. Então, multiplicando ambos os lados por :
Isso simplifica para:
E como , temos:
Agora, precisamos calcular , e .

Passo 4

Vamos calcular 5 C = 5 times 1 & 1 -1 & 2 = 5 & 5 -5 & 10 e 2 B = 2 times 3 & -1 -3 & 5 = 6 & -2 -6 & 10 primeiro.
Multiplicando a matriz 5 C - 2 B = 5 & 5 -5 & 10 - 6 & -2 -6 & 10 = 5 - 6 & 5 - (-2) -5 - (-6) & 10 - 10 = -1 & 7 1 & 0 por 5:
E multiplicando a matriz por 2:
Agora, vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz A = 5 & 7 2 & 3 . A matriz a & b c & d é:
A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 det(A) = (5)(3) - (7)(2) = 15 - 14 = 1 é:
A^-1 = 11 3 & -7 -2 & 5 = 3 & -7 -2 & 5
Calculando o determinante de :
Então, a inversa de é:

Passo 6

Finalmente, vamos multiplicar X = A^-1 (5 C - 2 B) = 3 & -7 -2 & 5 -1 & 7 1 & 0 pela matriz que encontramos no Passo 4:
X = 3 times (-1) + (-7) times 1 & 3 times 7 + (-7) times 0 -2 times (-1) + 5 times 1 & -2 times 7 + 5 times 0 = -3 - 7 & 21 + 0 2 + 5 & -14 + 0 = -10 & 21 7 & -14
Vamos fazer a multiplicação:

Resposta

A matriz solução X = -10 & 21 7 & -14 é:

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