Calcule a solução do seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
3 x+4 y-2 z & =2 -2 x-5 y+2 z & =1 4 x-2 y-z & =4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares com as incógnitas e . A matéria que vamos usar é a álgebra linear, especificamente o método de eliminação de Gauss para resolver sistemas de equações. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e simplificar passo a passo até encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:
3 & 4 & -2 & | & 2 -2 & -5 & 2 & | & 1 4 & -2 & -1 & | & 4

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos facilmente encontrar os valores das incógnitas. Vamos começar eliminando o Linha 2 = Linha 2 + (23 times Linha 1) das segunda e terceira linhas.
Para eliminar o -2 + (23 times 3) = -2 + 2 = 0 (eliminamos o x) da segunda linha, vamos multiplicar a primeira linha por -5 + (23 times 4) = -5 + 83 = -73 e somar com a segunda linha:
2 + (23 times -2) = 2 - 43 = 23
Calculando:
1 + (23 times 2) = 1 + 43 = 73
Fazendo o mesmo para o 0 & -73 & 23 & | & 73 e :
Então, a nova segunda linha fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 + (-43 times Linha 1) da terceira linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 4 + (-43 times 3) = 4 - 4 = 0 (eliminamos o x) e somamos com a terceira linha:
-2 + (-43 times 4) = -2 - 163 = -223
Calculando:
-1 + (-43 times -2) = -1 + 83 = 53
Fazendo o mesmo para o 4 + (-43 times 2) = 4 - 83 = 43 e 0 & -223 & 53 & | & 43 :
Então, a nova terceira linha fica:

Passo 5

Agora, nosso sistema está assim:
3 & 4 & -2 & | & 2 0 & -73 & 23 & | & 73 0 & -223 & 53 & | & 43
Vamos simplificar as frações para facilitar a resolução. Multiplicando a segunda e terceira linhas por 3:
3 & 4 & -2 & | & 2 0 & -7 & 2 & | & 7 0 & -22 & 5 & | & 4

Passo 6

Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 + (227 times Linha 2) da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por -22 + (227 times -7) = -22 - 22 = -44 e somamos com a terceira linha:
5 + (227 times 2) = 5 + 447 = 797
Calculando:
4 + (227 times 7) = 4 + 22 = 26
Linha 3 = Linha 3 - (227 times Linha 2)
-22 - (227 times -7) = -22 + 22 = 0 (eliminamos o y)
Mas notamos que fizemos um erro nos sinais. Vamos refazer:
Na verdade, para eliminar o 5 - (227 times 2) = 5 - 447 = -97 , a operação correta é:
4 - (227 times 7) = 4 - 22 = -18
Calculando novamente:
0 & 0 & -97 & | & -18
Então, a nova terceira linha fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema simplificado:
  1. Da terceira linha:
    -97 z = -18 Rightarrow z = -18 times 7-9 = 14
  2. Da segunda linha:
    -7 y + 2 z = 7 Rightarrow -7 y + 2 times 14 = 7 Rightarrow -7 y + 28 = 7 Rightarrow -7 y = -21 Rightarrow y = 3
  3. Da primeira linha:
    3 x + 4 y - 2 z = 2 Rightarrow 3 x + 4 times 3 - 2 times 14 = 2 Rightarrow 3 x + 12 - 28 = 2 Rightarrow 3 x - 16 = 2 Rightarrow 3 x = 18 Rightarrow x = 6

Resposta

A solução do sistema é , e .

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