Calcule a solução do seguinte sistema linear nas incógnitas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares com as incógnitas e . A matéria que vamos usar é a álgebra linear, especificamente o método de eliminação de Gauss para resolver sistemas de equações. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e simplificar passo a passo até encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos facilmente encontrar os valores das incógnitas. Vamos começar eliminando o das segunda e terceira linhas.
Para eliminar o da segunda linha, vamos multiplicar a primeira linha por e somar com a segunda linha:
Calculando:
Fazendo o mesmo para o e :
Então, a nova segunda linha fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o da terceira linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por e somamos com a terceira linha:
Calculando:
Fazendo o mesmo para o e :
Então, a nova terceira linha fica:

Passo 5

Agora, nosso sistema está assim:
Vamos simplificar as frações para facilitar a resolução. Multiplicando a segunda e terceira linhas por 3:

Passo 6

Agora, vamos eliminar o da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por e somamos com a terceira linha:
Calculando:
Mas notamos que fizemos um erro nos sinais. Vamos refazer:
Na verdade, para eliminar o , a operação correta é:
Calculando novamente:
Então, a nova terceira linha fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema simplificado:
  1. Da terceira linha:
  2. Da segunda linha:
  3. Da primeira linha:

Resposta

A solução do sistema é , e .

Exercícios relacionados

Calcule a solução do seguinte sistema linear nas incógnitas e .
Sejam e . Encontre
Sejam , e . Encontre ,
Considere o seguinte sistema linear nas variáveis e .
(a) Determine os valores do coeficiente para que este sistema sempre possua uma única solução.
(b) Determine condições sobre os números e para que este sistema não tenha solução.
© Determine condições sobre os números e para que este sistema possua infinitas soluções.
(d) Dê um exemplo de números e para que este sistema possua infinitas soluções. Além disso, para estes valores numéricos, escreva a solução geral do sistema.