Calcule a solução do seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
4 x-3 y-2 z= & 8 3 x+2 y-4 z= & 9 2 x+y+6 z= & 10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com as incógnitas , e . O conteúdo que vamos usar aqui é o de sistemas lineares e a técnica de eliminação para encontrar os valores das variáveis. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema novamente para facilitar:
4x - 3y - 2z &= 8 (Equação 1) 3x + 2y - 4z &= 9 (Equação 2) 2x + y + 6z &= 10 (Equação 3) çãçãçã
Nossa meta aqui é eliminar uma das variáveis para reduzir o sistema. Vamos começar eliminando o .

Passo 3

Para eliminar o 3 times (4x - 3y - 2z) &= 3 times 8 4 times (3x + 2y - 4z) &= 4 times 9 , vamos fazer com que o coeficiente de 12x - 9y - 6z &= 24 (Equação 4) 12x + 8y - 16z &= 36 (Equação 5) seja igual nas Equações 1 e 2. Podemos multiplicar a Equação 1 por 3 e a Equação 2 por 4:
Isso nos dá:
çãçã

Passo 4

Agora, vamos subtrair a Equação 4 da Equação 5 para eliminar o (12x + 8y - 16z) - (12x - 9y - 6z) = 36 - 24 :
0x + 17y - 10z = 12
Simplificando:
17y - 10z = 12 (Equação 6)
Ou seja:
çã

Passo 5

Vamos agora eliminar o 2 times (4x - 3y - 2z) &= 2 times 8 4 times (2x + y + 6z) &= 4 times 10 usando as Equações 1 e 3. Multiplicamos a Equação 1 por 2 e a Equação 3 por 4:
8x - 6y - 4z &= 16 (Equação 7) 8x + 4y + 24z &= 40 (Equação 8)
Isso nos dá:
çãçã

Passo 6

Subtraindo a Equação 7 da Equação 8 para eliminar o (8x + 4y + 24z) - (8x - 6y - 4z) = 40 - 16 :
0x + 10y + 28z = 24
Simplificando:
10y + 28z = 24 (Equação 9)
Ou seja:
çã

Passo 7

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
17y - 10z &= 12 (Equação 6) 10y + 28z &= 24 (Equação 9) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 6 por 10 e a Equação 9 por 17 para igualar os coeficientes de 10 times (17y - 10z) &= 10 times 12 17 times (10y + 28z) &= 17 times 24 :
170y - 100z &= 120 (Equação 10) 170y + 476z &= 408 (Equação 11)
Isso resulta em:
çãçã

Passo 8

Subtraindo a Equação 10 da Equação 11 para eliminar o (170y + 476z) - (170y - 100z) = 408 - 120 :
0y + 576z = 288
Simplificando:
576z = 288
Portanto:

Passo 9

Resolvendo para z = 288576 = 0.5 :

Passo 10

Agora que temos 17y - 10(0.5) = 12 17y - 5 = 12 17y = 17 y = 1 , vamos substituir esse valor na Equação 6 para encontrar :

Passo 11

Com 4x - 3(1) - 2(0.5) = 8 4x - 3 - 1 = 8 4x - 4 = 8 4x = 12 x = 3 e , vamos substituir esses valores na Equação 1 para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 3, y = 1, z = 0.5

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