Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Estamos lidando com um sistema de equações lineares envolvendo três variáveis: , e . Nosso objetivo é responder as partes (a) até (d) desse exercício. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como determinantes e matriz de coeficientes. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Queremos descobrir quais valores do coeficiente fazem com que o sistema tenha uma única solução. Para que um sistema linear tenha uma única solução, o determinante da matriz dos coeficientes precisa ser diferente de zero.
Passo 3
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = a & 2 & -1 2 & 1 & 1 -1 & 1 & -2
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Para que o sistema tenha uma única solução, -3a +3 neq 0 implies -3a neq -3 implies a neq 1 :
Passo 6
Resposta da parte (a): O sistema possui uma única solução para todos os valores de exceto quando .
Passo 7
Parte (b): Queremos condições em que o sistema não tenha solução. Isso acontece quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero e o sistema é inconsistente.
Passo 8
Já vimos que -3a +3 =0 implies a =1 . Para que o sistema seja possível, mas inconsistente, precisamos que e que as equações não se interceptem.
Então, primeiro, igualamos o determinante a zero:
Agora, com , vamos verificar se o sistema é inconsistente.
Passo 9
Com 1x + 2y - z = b1 2x + y + z = b2 -1x + y -2z = b3 , o sistema fica:
Para verificar a consistência, podemos montar a matriz aumentada e analisar pelo método de escalonamento.
Substituindo x + 2y - y =1 implies x + y =1 implies x =1 - y na primeira equação:
Passo 23
Então, a solução geral do sistema é:
x =1 - y y = y z = y
Podemos expressar em termos de um parâmetro x =1 - t y = t z = t , t in R :
Resposta
Foram resolvidas as partes (a) a (d) do exercício conforme solicitado, determinando valores e condições para que garantem uma única solução, ausência de solução e infinitas soluções, além de fornecer um exemplo específico com sua solução geral.