Considere o seguinte sistema linear nas variáveis x, y e z.
a x+2 y-z & =b1 2 x+y+z & =b2 -x+y-2 z & =b3
(a) Determine os valores do coeficiente a para que este sistema sempre possua uma única solução.
(b) Determine condições sobre os números a, b1, b2 e b3 para que este sistema não tenha solução.
© Determine condições sobre os números a, b1, b2 e b3 para que este sistema possua infinitas soluções.
(d) Dê um exemplo de números a, b1, b2 e b3 para que este sistema possua infinitas soluções. Além disso, para estes valores numéricos, escreva a solução geral do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Estamos lidando com um sistema de equações lineares envolvendo três variáveis: , e . Nosso objetivo é responder as partes (a) até (d) desse exercício. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como determinantes e matriz de coeficientes. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Queremos descobrir quais valores do coeficiente fazem com que o sistema tenha uma única solução. Para que um sistema linear tenha uma única solução, o determinante da matriz dos coeficientes precisa ser diferente de zero.

Passo 3

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = a & 2 & -1 2 & 1 & 1 -1 & 1 & -2
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A) = a cdot det1 & 1 1 & -2 - 2 cdot det2 & 1 -1 & -2 + (-1) cdot det2 & 1 -1 & 1

Passo 4

Vamos calcular cada determinante menor:
  1. 1 & 1 1 & -2
  2. 2 & 1 -1 & -2
  3. 2 & 1 -1 & 1

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula do determinante:
det(A) = a cdot (-3) - 2 cdot (-3) + (-1) cdot 3 = -3a + 6 -3 = -3a +3
Para que o sistema tenha uma única solução, -3a +3 neq 0 implies -3a neq -3 implies a neq 1 :

Passo 6

Resposta da parte (a): O sistema possui uma única solução para todos os valores de exceto quando .

Passo 7

Parte (b): Queremos condições em que o sistema não tenha solução. Isso acontece quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero e o sistema é inconsistente.

Passo 8

Já vimos que -3a +3 =0 implies a =1 . Para que o sistema seja possível, mas inconsistente, precisamos que e que as equações não se interceptem.
Então, primeiro, igualamos o determinante a zero:
Agora, com , vamos verificar se o sistema é inconsistente.

Passo 9

Com 1x + 2y - z = b1 2x + y + z = b2 -1x + y -2z = b3 , o sistema fica:
Para verificar a consistência, podemos montar a matriz aumentada e analisar pelo método de escalonamento.

Passo 10

Matriz aumentada:
1 & 2 & -1 & | & b1 2 & 1 & 1 & | & b2 -1 & 1 & -2 & | & b3
Aplicando operações de linha para simplificar:
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda:
1 & 2 & -1 & | & b1 0 & -3 & 3 & | & b2 - 2b1 -1 & 1 & -2 & | & b3
  1. Adicionar a primeira linha à terceira:
1 & 2 & -1 & | & b1 0 & -3 & 3 & | & b2 - 2b1 0 & 3 & -3 & | & b3 + b1
  1. Adicionar a segunda linha à terceira:
1 & 2 & -1 & | & b1 0 & -3 & 3 & | & b2 - 2b1 0 & 0 & 0 & | & b3 + b1 + (b2 - 2b1)
Simplificando a última equação:
0z = b3 + b1 + b2 - 2b1 = b2 - b1 + b3

Passo 11

Para que o sistema seja inconsistente, a última equação precisa ser algo impossível, ou seja:
0 = b2 - b1 + b3
Portanto, para que não haja solução, essa equação deve ser discordante, o que significa que:
b2 - b1 + b3 neq 0

Passo 12

Resposta da parte (b): O sistema não tem solução quando e .

Passo 13

Parte ©: Agora, queremos que o sistema tenha infinitas soluções. Isso ocorre quando o determinante é zero e o sistema é dependente, ou seja, as equações representam planos que se intersectam em uma linha.

Passo 14

Primeiro, novamente .
Com , vamos verificar as condições para que as equações sejam dependentes.

Passo 15

Usando a matriz aumentada com 1 & 2 & -1 & | & b1 2 & 1 & 1 & | & b2 -1 & 1 & -2 & | & b3 :
0 = b2 - b1 + b3
Após as operações de linha, chegamos à equação:
b2 - b1 + b3 = 0
Para que haja infinitas soluções, essa igualdade deve ser satisfeita, ou seja:

Passo 16

Resposta da parte ©: O sistema possui infinitas soluções quando e .

Passo 17

Parte (d): Precisamos dar um exemplo de valores que satisfaçam as condições da parte © e, além disso, escrever a solução geral do sistema para esses valores.

Passo 18

Escolhendo b2 - b1 + b3 = 2 -1 + (-1) =0 . Vamos escolher , , e .
Verificando a condição:
Então, esses valores satisfazem as condições para infinitas soluções.

Passo 19

Agora, vamos resolver o sistema com esses valores:
x + 2y - z =1 2x + y + z =2 - x + y -2z =-1
Usando a matriz aumentada:
1 & 2 & -1 & | &1 2 & 1 & 1 & | &2 -1 & 1 & -2 & | &-1

Passo 20

Aplicando operações de linha:
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda:
1 & 2 & -1 & | &1 0 & -3 & 3 & | &0 -1 & 1 & -2 & | &-1
  1. Adicionar a primeira linha à terceira:
1 & 2 & -1 & | &1 0 & -3 & 3 & | &0 0 & 3 & -3 & | &0
  1. Adicionar a segunda linha à terceira:
1 & 2 & -1 & | &1 0 & -3 & 3 & | &0 0 & 0 & 0 & | &0

Passo 21

Agora, temos o seguinte sistema simplificado:
x + 2y - z =1 -3y +3z =0 0 =0
Da segunda equação:
-3y +3z =0 implies -y + z =0 implies z = y

Passo 22

Substituindo x + 2y - y =1 implies x + y =1 implies x =1 - y na primeira equação:

Passo 23

Então, a solução geral do sistema é:
x =1 - y y = y z = y
Podemos expressar em termos de um parâmetro x =1 - t y = t z = t , t in R :

Resposta

Foram resolvidas as partes (a) a (d) do exercício conforme solicitado, determinando valores e condições para que garantem uma única solução, ausência de solução e infinitas soluções, além de fornecer um exemplo específico com sua solução geral.

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