Considere o seguinte sistema linear nas variáveis e .
(a) Determine os valores do coeficiente para que este sistema sempre possua uma única solução.
(b) Determine condições sobre os números e para que este sistema não tenha solução.
© Determine condições sobre os números e para que este sistema possua infinitas soluções.
(d) Dê um exemplo de números e para que este sistema possua infinitas soluções. Além disso, para estes valores numéricos, escreva a solução geral do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Estamos lidando com um sistema de equações lineares envolvendo três variáveis: , e . Nosso objetivo é responder as partes (a) até (d) desse exercício. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como determinantes e matriz de coeficientes. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Queremos descobrir quais valores do coeficiente fazem com que o sistema tenha uma única solução. Para que um sistema linear tenha uma única solução, o determinante da matriz dos coeficientes precisa ser diferente de zero.

Passo 3

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:

Passo 4

Vamos calcular cada determinante menor:

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula do determinante:
Para que o sistema tenha uma única solução, :

Passo 6

Resposta da parte (a): O sistema possui uma única solução para todos os valores de exceto quando .

Passo 7

Parte (b): Queremos condições em que o sistema não tenha solução. Isso acontece quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero e o sistema é inconsistente.

Passo 8

Já vimos que . Para que o sistema seja possível, mas inconsistente, precisamos que e que as equações não se interceptem.
Então, primeiro, igualamos o determinante a zero:
Agora, com , vamos verificar se o sistema é inconsistente.

Passo 9

Com , o sistema fica:
Para verificar a consistência, podemos montar a matriz aumentada e analisar pelo método de escalonamento.

Passo 10

Matriz aumentada:
Aplicando operações de linha para simplificar:
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda:
  1. Adicionar a primeira linha à terceira:
  1. Adicionar a segunda linha à terceira:
Simplificando a última equação:

Passo 11

Para que o sistema seja inconsistente, a última equação precisa ser algo impossível, ou seja:
Portanto, para que não haja solução, essa equação deve ser discordante, o que significa que:

Passo 12

Resposta da parte (b): O sistema não tem solução quando e .

Passo 13

Parte ©: Agora, queremos que o sistema tenha infinitas soluções. Isso ocorre quando o determinante é zero e o sistema é dependente, ou seja, as equações representam planos que se intersectam em uma linha.

Passo 14

Primeiro, novamente .
Com , vamos verificar as condições para que as equações sejam dependentes.

Passo 15

Usando a matriz aumentada com :
Após as operações de linha, chegamos à equação:
Para que haja infinitas soluções, essa igualdade deve ser satisfeita, ou seja:

Passo 16

Resposta da parte ©: O sistema possui infinitas soluções quando e .

Passo 17

Parte (d): Precisamos dar um exemplo de valores que satisfaçam as condições da parte © e, além disso, escrever a solução geral do sistema para esses valores.

Passo 18

Escolhendo . Vamos escolher , , e .
Verificando a condição:
Então, esses valores satisfazem as condições para infinitas soluções.

Passo 19

Agora, vamos resolver o sistema com esses valores:
Usando a matriz aumentada:

Passo 20

Aplicando operações de linha:
  1. Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda:
  1. Adicionar a primeira linha à terceira:
  1. Adicionar a segunda linha à terceira:

Passo 21

Agora, temos o seguinte sistema simplificado:
Da segunda equação:

Passo 22

Substituindo na primeira equação:

Passo 23

Então, a solução geral do sistema é:
Podemos expressar em termos de um parâmetro :

Resposta

Foram resolvidas as partes (a) a (d) do exercício conforme solicitado, determinando valores e condições para que garantem uma única solução, ausência de solução e infinitas soluções, além de fornecer um exemplo específico com sua solução geral.

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