Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Estamos lidando com um sistema de equações lineares envolvendo três variáveis: , e . Nosso objetivo é responder as partes (a) até (d) desse exercício. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como determinantes e matriz de coeficientes. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Queremos descobrir quais valores do coeficiente fazem com que o sistema tenha uma única solução. Para que um sistema linear tenha uma única solução, o determinante da matriz dos coeficientes precisa ser diferente de zero.
Passo 3
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Passo 4
Vamos calcular cada determinante menor:
Passo 5
Substituindo de volta na fórmula do determinante:
Para que o sistema tenha uma única solução, :
Passo 6
Resposta da parte (a): O sistema possui uma única solução para todos os valores de exceto quando .
Passo 7
Parte (b): Queremos condições em que o sistema não tenha solução. Isso acontece quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero e o sistema é inconsistente.
Passo 8
Já vimos que . Para que o sistema seja possível, mas inconsistente, precisamos que e que as equações não se interceptem.
Então, primeiro, igualamos o determinante a zero:
Agora, com , vamos verificar se o sistema é inconsistente.
Passo 9
Com , o sistema fica:
Para verificar a consistência, podemos montar a matriz aumentada e analisar pelo método de escalonamento.
Passo 10
Matriz aumentada:
Aplicando operações de linha para simplificar:
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda:
Adicionar a primeira linha à terceira:
Adicionar a segunda linha à terceira:
Simplificando a última equação:
Passo 11
Para que o sistema seja inconsistente, a última equação precisa ser algo impossível, ou seja:
Portanto, para que não haja solução, essa equação deve ser discordante, o que significa que:
Passo 12
Resposta da parte (b): O sistema não tem solução quando e.
Então, esses valores satisfazem as condições para infinitas soluções.
Passo 19
Agora, vamos resolver o sistema com esses valores:
Usando a matriz aumentada:
Passo 20
Aplicando operações de linha:
Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda:
Adicionar a primeira linha à terceira:
Adicionar a segunda linha à terceira:
Passo 21
Agora, temos o seguinte sistema simplificado:
Da segunda equação:
Passo 22
Substituindo na primeira equação:
Passo 23
Então, a solução geral do sistema é:
Podemos expressar em termos de um parâmetro :
Resposta
Foram resolvidas as partes (a) a (d) do exercício conforme solicitado, determinando valores e condições para que garantem uma única solução, ausência de solução e infinitas soluções, além de fornecer um exemplo específico com sua solução geral.