Considere as retas e .
(a) Encontre um ponto , um ponto e os vetores diretores ,
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, chamadas e , definidas pelas seguintes equações:
O que precisamos fazer aqui é:
Encontrar um ponto que pertence à reta .
Encontrar um ponto que pertence à reta .
Determinar os vetores diretores das retas e .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de retas, que nos permite expressar as coordenadas dos pontos na reta em função de um parâmetro. Além disso, os vetores diretores são fundamentais para entender a direção de cada reta no espaço.
Passo 2
Vamos começar encontrando o ponto na reta . A equação da reta está na forma simétrica:
Vamos chamar esses três lados iguais de igual a um parâmetro . Assim, temos:
Agora, podemos expressar as coordenadas , e em função de :
Escolhemos um valor para para encontrar um ponto específico na reta. Vamos escolher :
Portanto, o ponto é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o ponto na reta . A equação da reta está na forma simétrica:
Vamos chamar esses três lados iguais de igual a um parâmetro . Assim, temos:
Agora, podemos expressar as coordenadas , e em função de :
Escolhemos um valor para para encontrar um ponto específico na reta. Vamos escolher :
Portanto, o ponto é .
Passo 4
Agora, vamos determinar os vetores diretores das retas e . O vetor diretor de uma reta indica a direção em que a reta aponta e pode ser obtido pelos coeficientes que multiplicam os parâmetros nas equações paramétricas das retas.
Para a reta , vimos que:
Os coeficientes de são , e , respectivamente. Portanto, o vetor diretor é:
Para a reta , vimos que:
Os coeficientes de são , e , respectivamente. Portanto, o vetor diretor é:
Resposta
Um ponto na reta é , um ponto na reta é , e os vetores diretores são: