Considere as retas r: x-54=y-33=z-2 e s: x-3=y-12=z+1-1.
(a) Encontre um ponto A in r, um ponto B in s e os vetores diretores r e s,

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, chamadas r: x-54 = y-33 = z - 2 e s: x - 3 = y-12 = z + 1-1 , definidas pelas seguintes equações:
O que precisamos fazer aqui é:
  1. Encontrar um ponto que pertence à reta .
  2. Encontrar um ponto que pertence à reta .
  3. Determinar os vetores diretores das retas e .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de retas, que nos permite expressar as coordenadas dos pontos na reta em função de um parâmetro. Além disso, os vetores diretores são fundamentais para entender a direção de cada reta no espaço.

Passo 2

Vamos começar encontrando o ponto x-54 = y-33 = z - 2 na reta x-54 = t , y-33 = t , z - 2 = t . A equação da reta x = 4t + 5 está na forma simétrica:
y = 3t + 3
Vamos chamar esses três lados iguais de igual a um parâmetro z = t + 2 . Assim, temos:
x = 4(0) + 5 = 5
Agora, podemos expressar as coordenadas y = 3(0) + 3 = 3 , z = 0 + 2 = 2 e em função de :
Escolhemos um valor para para encontrar um ponto específico na reta. Vamos escolher :
Portanto, o ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto x - 3 = y-12 = z + 1-1 na reta x - 3 = u , y-12 = u , z + 1-1 = u . A equação da reta x = u + 3 está na forma simétrica:
y = 2u + 1
Vamos chamar esses três lados iguais de igual a um parâmetro z = -u - 1 . Assim, temos:
x = 0 + 3 = 3
Agora, podemos expressar as coordenadas y = 2(0) + 1 = 1 , z = -0 - 1 = -1 e em função de :
Escolhemos um valor para para encontrar um ponto específico na reta. Vamos escolher :
Portanto, o ponto é .

Passo 4

Agora, vamos determinar os vetores diretores das retas x = 4t + 5 e y = 3t + 3 . O vetor diretor de uma reta indica a direção em que a reta aponta e pode ser obtido pelos coeficientes que multiplicam os parâmetros nas equações paramétricas das retas.
Para a reta z = t + 2 , vimos que:
r = 4 3 1
x = u + 3
y = 2u + 1
Os coeficientes de z = -u - 1 são s = 1 2 -1 , e , respectivamente. Portanto, o vetor diretor é:
Para a reta , vimos que:
Os coeficientes de são , e , respectivamente. Portanto, o vetor diretor é:

Resposta

Um ponto r = 4 3 1 e s = 1 2 -1 na reta é , um ponto na reta é , e os vetores diretores são:

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