Considere as retas e .
(a) Encontre um ponto , um ponto e os vetores diretores ,

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, chamadas e , definidas pelas seguintes equações:
O que precisamos fazer aqui é:
  1. Encontrar um ponto que pertence à reta .
  2. Encontrar um ponto que pertence à reta .
  3. Determinar os vetores diretores das retas e .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de retas, que nos permite expressar as coordenadas dos pontos na reta em função de um parâmetro. Além disso, os vetores diretores são fundamentais para entender a direção de cada reta no espaço.

Passo 2

Vamos começar encontrando o ponto na reta . A equação da reta está na forma simétrica:
Vamos chamar esses três lados iguais de igual a um parâmetro . Assim, temos:
Agora, podemos expressar as coordenadas , e em função de :
Escolhemos um valor para para encontrar um ponto específico na reta. Vamos escolher :
Portanto, o ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ponto na reta . A equação da reta está na forma simétrica:
Vamos chamar esses três lados iguais de igual a um parâmetro . Assim, temos:
Agora, podemos expressar as coordenadas , e em função de :
Escolhemos um valor para para encontrar um ponto específico na reta. Vamos escolher :
Portanto, o ponto é .

Passo 4

Agora, vamos determinar os vetores diretores das retas e . O vetor diretor de uma reta indica a direção em que a reta aponta e pode ser obtido pelos coeficientes que multiplicam os parâmetros nas equações paramétricas das retas.
Para a reta , vimos que:
Os coeficientes de são , e , respectivamente. Portanto, o vetor diretor é:
Para a reta , vimos que:
Os coeficientes de são , e , respectivamente. Portanto, o vetor diretor é:

Resposta

Um ponto na reta é , um ponto na reta é , e os vetores diretores são:

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el
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Calcule a solução do seguinte sistema linear nas incógnitas e .