Calcule a soma de cada uma séries geométricas abaixo
sumn=1^infty(12^n-(-1)^n5^n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a soma de uma série geométrica infinita que é a soma de duas partes: e . A matéria aqui é sobre séries geométricas, e para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas séries diferentes para facilitar o cálculo:
sumn=1^infty(12^n - (-1)^n5^n) = sumn=1^infty12^n - sumn=1^infty(-1)^n5^n
Assim, temos duas somas para calcular separadamente.

Passo 3

Agora, vamos focar na primeira série: S = a1 - r . Essa é uma série geométrica onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por . A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde é o primeiro termo e é a razão da série.

Passo 4

Para a primeira série, o primeiro termo S1 = 121 - 12 = 1212 = 1 e a razão . Aplicando na fórmula:
Então, a soma da primeira série é 1.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda série: S2 = -151 - (-15) = -151 + 15 = -1565 = -16 . Aqui, cada termo é vezes o anterior, então a razão . O primeiro termo . Usando a mesma fórmula:
Portanto, a soma da segunda série é .

Resposta

Somando as duas séries:
S = S1 - S2 = 1 - (-16) = 1 + 16 = 76
Então, a soma da série é .

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