Determinse se a série é convergente ou divergente
sumn=1^infty n(34)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar se a série sumn=1^infty n(34)^n é convergente ou divergente. A matéria que estamos lidando aqui é com séries infinitas, mais especificamente, vamos usar o teste da razão para analisar a convergência da série. Então, vamos precisar disso para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série quando L = limn to infty | an+1an | tende ao infinito:
Se , a série converge absolutamente; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, an+1 = (n+1)(34)^n+1 . Então, o próximo termo, , será:

Passo 4

Vamos agora calcular a razão an+1an = (n+1)(34)^n+1n(34)^n = n+1n cdot 34 :

Passo 5

Simplificando a expressão acima:
an+1an = (1 + 1n) cdot 34

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty (1 + 1n) cdot 34 = 1 cdot 34 = 34 tende ao infinito:

Passo 7

Como , de acordo com o teste da razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty n(34)^n converge.

Exercícios relacionados