Classfique as éries como convergente ou divergente.
sumn=1^infty cos n pin^2

Passo 1

Beleza! Vamos lá: você quer saber se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Precisaremos entender o comportamento dos termos da série e aplicar um teste adequado para determinar se a soma total chega a um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sumn=1^infty cos(n pi)n^2 = sumn=1^infty (-1)^nn^2 . Sabemos que alterna entre 1 e -1 dependendo do valor de . Na verdade, . Assim, podemos reescrever a série da seguinte forma:

Passo 3

Agora temos uma série alternada, ou seja, os termos da série alternam sinais positivos e negativos. Para séries alternadas, podemos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que se o termo geral de uma série alternada satisfaz duas condições:
  1. é decrescente: para todo .
  2. tende a zero: .
Então, a série converge.

Passo 4

No nosso caso, . Vamos verificar as duas condições:
  1. Decrescente: Conforme aumenta, aumenta, então diminui. Portanto, é decrescente.
  2. Tende a zero: .
Como ambas as condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.

Passo 5

Além disso, podemos observar que a série é absolutamente convergente porque a série dos valores absolutos é uma série p com , que sabemos ser convergente.

Resposta

A série é convergente e, de fato, absolutamente convergente.

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