Classfique as éries como convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: você quer saber se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Precisaremos entender o comportamento dos termos da série e aplicar um teste adequado para determinar se a soma total chega a um valor finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que alterna entre 1 e -1 dependendo do valor de . Na verdade, . Assim, podemos reescrever a série da seguinte forma:
Passo 3
Agora temos uma série alternada, ou seja, os termos da série alternam sinais positivos e negativos. Para séries alternadas, podemos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que se o termo geral de uma série alternada satisfaz duas condições:
é decrescente: para todo .
tende a zero: .
Então, a série converge.
Passo 4
No nosso caso, . Vamos verificar as duas condições:
Decrescente: Conforme aumenta, aumenta, então diminui. Portanto, é decrescente.
Tende a zero: .
Como ambas as condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
Passo 5
Além disso, podemos observar que a série é absolutamente convergente porque a série dos valores absolutos é uma série p com , que sabemos ser convergente.
Resposta
A série é convergente e, de fato, absolutamente convergente.