Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar a sequência
como convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos calcular o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de análise de sequências, especialmente sobre limites e comportamento de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte do numerador:
. Sabemos que a função cosseno oscila entre -1 e 1 para todo valor de
. Então,
está sempre limitado dentro desse intervalo, independente do valor de
.
Passo 3
Agora, olhamos para o denominador da fração, que é
. Conforme
cresce, ele tende ao infinito. Então, estamos dividindo algo que está sempre entre -1 e 1 por um número que fica cada vez maior.
Passo 4
Quando temos uma expressão onde o numerador é limitado e o denominador vai para o infinito, o valor da fração inteira tende a zero. Matemáticamente, isso pode ser expresso como:
Isso acontece porque a quantidade crescente no denominador faz com que a fração diminua cada vez mais, aproximando-se de zero.
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é 0.
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Mostre que se
e
são conjuntos, então
.
(Este é um caso especial do princípio da inclusão-exclusão, que será estudado no Capítulo 7.)
(Este é um caso especial do princípio da inclusão-exclusão, que será estudado no Capítulo 7.)
Classifique as sequências como convergente ou divergente. Em caso de convergência, calcular o limite.
Calcule a soma de cada uma séries geométricas abaixo
Considere
como o conjunto de todas as cadeias de bits não vazias (ou seja, cadeias de bits com, pelo menos, um de extensão) de extensão não excedente a
. Encontre
.