Mostre que se
e
são conjuntos, então
.
(Este é um caso especial do princípio da inclusão-exclusão, que será estudado no Capítulo 7.)
(Este é um caso especial do princípio da inclusão-exclusão, que será estudado no Capítulo 7.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três conjuntos:
,
e
. O exercício quer que a gente mostre como calcular o número de elementos na união desses três conjuntos, ou seja,
. Para isso, vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão, que ajuda a contar elementos em várias sobreposições sem errar. Vamos precisar entender como somar e subtrair as interseções entre esses conjuntos para chegar na resposta correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa o total de elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos
,
ou
. Se a gente simplesmente somar
, pode acabar contando alguns elementos mais de uma vez. Por exemplo, se um elemento está tanto em
quanto em
, ele será contado duas vezes. Então, precisamos ajustar isso.
Passo 3
Para corrigir a contagem dupla, vamos subtrair as interseções de dois conjuntos. Ou seja, vamos tirar
,
e
da soma inicial. Assim, garantimos que os elementos que estão em duas áreas não sejam contados mais de uma vez.
Matematicamente, fica assim:
Passo 4
Mas espera aí! Quando subtraímos as interseções de dois conjuntos, acabamos tirando também os elementos que estão nos três conjuntos (
,
e
) duas vezes. Por exemplo, se um elemento está em todos os três, ele foi contado três vezes na soma inicial e subtraído três vezes nas interseções de dois. Isso faz com que ele não seja contado nenhuma vez, mas na verdade queremos contar uma vez.
Passo 5
Para corrigir esse erro, precisamos adicionar novamente a interseção dos três conjuntos,
. Assim, compensamos a dupla subtração desses elementos específicos.
Então, a fórmula final fica:
Resposta
Portanto, mostramos que:
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