Mostre que se A, B e C são conjuntos, então |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| -|B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
(Este é um caso especial do princípio da inclusão-exclusão, que será estudado no Capítulo 7.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três conjuntos: , e . O exercício quer que a gente mostre como calcular o número de elementos na união desses três conjuntos, ou seja, . Para isso, vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão, que ajuda a contar elementos em várias sobreposições sem errar. Vamos precisar entender como somar e subtrair as interseções entre esses conjuntos para chegar na resposta correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa o total de elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos , ou . Se a gente simplesmente somar , pode acabar contando alguns elementos mais de uma vez. Por exemplo, se um elemento está tanto em quanto em , ele será contado duas vezes. Então, precisamos ajustar isso.

Passo 3

Para corrigir a contagem dupla, vamos subtrair as interseções de dois conjuntos. Ou seja, vamos tirar , e da soma inicial. Assim, garantimos que os elementos que estão em duas áreas não sejam contados mais de uma vez.
Matematicamente, fica assim:

Passo 4

Mas espera aí! Quando subtraímos as interseções de dois conjuntos, acabamos tirando também os elementos que estão nos três conjuntos ( , e ) duas vezes. Por exemplo, se um elemento está em todos os três, ele foi contado três vezes na soma inicial e subtraído três vezes nas interseções de dois. Isso faz com que ele não seja contado nenhuma vez, mas na verdade queremos contar uma vez.

Passo 5

Para corrigir esse erro, precisamos adicionar novamente a interseção dos três conjuntos, . Assim, compensamos a dupla subtração desses elementos específicos.
Então, a fórmula final fica:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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