Calcule a soma de cada uma séries geométricas abaixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma de uma série geométrica que é a seguinte:
Aqui, a matéria que estamos usando é Séries Geométricas, e vamos precisar entender como somar termos que seguem uma progressão geométrica. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Olha só, a gente tem:
A gente pode separar essa fração em duas partes:
Isso fica assim: uma parte é uma potência de 3 sobre uma potência de 6, e a outra é apenas 1 sobre 6 elevado a .

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo separado. Sabemos que:
E:
Então, nossa série original pode ser escrita como duas séries geométricas separadas:

Passo 4

Agora, vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Onde é o primeiro termo e é a razão da série, desde que .
Mas nossa série começa em , então precisamos ajustar um pouquinho. Para , o termo é , então podemos considerar para ambas as séries.
Aplicando a fórmula:
Para a primeira série ( como razão):
Para a segunda série ( como razão):

Passo 5

Agora, vamos substituir esses resultados de volta na nossa série original:

Resposta

A soma da série geométrica é .

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Mostre que
.
Determinse se a série é convergente ou divergente