Calcule a soma de cada uma séries geométricas abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma de uma série geométrica que é a seguinte:
Aqui, a matéria que estamos usando é Séries Geométricas, e vamos precisar entender como somar termos que seguem uma progressão geométrica. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Olha só, a gente tem:
A gente pode separar essa fração em duas partes:
Isso fica assim: uma parte é uma potência de 3 sobre uma potência de 6, e a outra é apenas 1 sobre 6 elevado a
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo separado. Sabemos que:
E:
Então, nossa série original pode ser escrita como duas séries geométricas separadas:
Passo 4
Agora, vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Onde
é o primeiro termo e
é a razão da série, desde que
.
Mas nossa série começa em
, então precisamos ajustar um pouquinho. Para
, o termo é
, então podemos considerar
para ambas as séries.
Aplicando a fórmula:
Para a primeira série (
como razão):
Para a segunda série (
como razão):
Passo 5
Agora, vamos substituir esses resultados de volta na nossa série original:
Resposta
A soma da série geométrica é
.
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Mostre que
.
Determinse se a série é convergente ou divergente