Calcule a soma de cada uma séries geométricas abaixo
sumn=1^infty 3^n-1-16^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma de uma série geométrica que é a seguinte:
sumn=1^infty 3^n-1 - 16^n-1
Aqui, a matéria que estamos usando é Séries Geométricas, e vamos precisar entender como somar termos que seguem uma progressão geométrica. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Olha só, a gente tem:
3^n-1 - 16^n-1
A gente pode separar essa fração em duas partes:
3^n-16^n-1 - 16^n-1
Isso fica assim: uma parte é uma potência de 3 sobre uma potência de 6, e a outra é apenas 1 sobre 6 elevado a .

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo separado. Sabemos que:
3^n-16^n-1 = (36)^n-1 = (12)^n-1
E:
16^n-1 = (16)^n-1
Então, nossa série original pode ser escrita como duas séries geométricas separadas:
sumn=1^infty (12)^n-1 - sumn=1^infty (16)^n-1

Passo 4

Agora, vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
sumn=0^infty ar^n = a1 - r
Onde sumn=1^infty (12)^n-1 = 11 - 12 = 112 = 2 é o primeiro termo e sumn=1^infty (16)^n-1 = 11 - 16 = 156 = 65 é a razão da série, desde que .
Mas nossa série começa em , então precisamos ajustar um pouquinho. Para , o termo é , então podemos considerar para ambas as séries.
Aplicando a fórmula:
Para a primeira série ( como razão):
Para a segunda série ( como razão):

Passo 5

Agora, vamos substituir esses resultados de volta na nossa série original:
2 - 65 = 105 - 65 = 45

Resposta

A soma da série geométrica é .

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