Determinse se a série é convergente ou divergente
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Isso envolve entender o que é uma série e aplicar alguns testes de convergência que a gente aprendeu.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série:
. Quando
fica bem grande, os termos
e
crescem muito mais rápido que
. Então, podemos simplificar nossa análise focando nesses termos exponenciais.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão principal, deixando de lado os termos que crescem mais devagar:
Isso mostra que, para valores grandes de
, o termo da série se comporta como
.
Passo 4
Sabemos que a série geométrica
é convergente, pois a razão
é menor que 1. Agora, vamos usar o Teste de Comparação Limite para comparar nossa série com essa série geométrica.
Passo 5
Aplicando o Teste de Comparação Limite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
Como
, podemos simplificar:
Como o limite é uma constante positiva e a série comparada converge, nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Mostre que
.
Calcule a soma de cada uma séries geométricas abaixo
Determinse se a série é convergente ou divergente
Considere
e
. Encontre
.