Determinse se a série é convergente ou divergente
sumn=0^infty n+4^nn+5^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Isso envolve entender o que é uma série e aplicar alguns testes de convergência que a gente aprendeu.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série: . Quando fica bem grande, os termos e crescem muito mais rápido que . Então, podemos simplificar nossa análise focando nesses termos exponenciais.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão principal, deixando de lado os termos que crescem mais devagar:
n + 4^nn + 5^n approx 4^n5^n = (45)^n
Isso mostra que, para valores grandes de , o termo da série se comporta como .

Passo 4

Sabemos que a série geométrica é convergente, pois a razão é menor que 1. Agora, vamos usar o Teste de Comparação Limite para comparar nossa série com essa série geométrica.

Passo 5

Aplicando o Teste de Comparação Limite, calculamos o limite do quociente entre os termos das duas séries:
limn to infty n + 4^nn + 5^n(45)^n = limn to infty n + 4^nn + 5^n cdot (54)^n
Como limn to infty 4^n5^n cdot (54)^n = limn to infty 1 = 1 , podemos simplificar:
Como o limite é uma constante positiva e a série comparada converge, nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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