Calcule a soma da série cuja soma parcial é dada por: s_n = (1 - r^(n+1)) / (1 - r), |r| < 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a soma de uma série cuja soma parcial é dada por , onde . Isso pertence ao conteúdo de séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma soma parcial e como encontrar a soma total de uma série infinita usando essa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma parcial. Em uma série, a soma parcial representa a soma dos primeiros termos da série. No nosso caso, a fórmula nos dá a soma dos primeiros termos de uma série geométrica com razão .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a soma da série inteira, ou seja, quando somamos todos os termos até o infinito. Para isso, precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito:

Passo 4

Observando a expressão , sabemos que se , conforme dado, então se aproxima de 0 conforme cresce. Portanto:

Passo 5

Substituindo esse limite na expressão original, temos:

Resposta

A soma da série é .

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