Calcule a soma da série cuja soma parcial é dada por:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a soma de uma série cuja soma parcial é dada por
, onde
. Isso pertence ao conteúdo de séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma soma parcial e como encontrar a soma total de uma série infinita usando essa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma parcial. Em uma série, a soma parcial
representa a soma dos primeiros
termos da série. No nosso caso, a fórmula
nos dá a soma dos
primeiros termos de uma série geométrica com razão
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a soma da série inteira, ou seja, quando somamos todos os termos até o infinito. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Passo 4
Observando a expressão
, sabemos que se
, conforme dado, então
se aproxima de 0 conforme
cresce. Portanto:
Passo 5
Substituindo esse limite na expressão original, temos:
Resposta
A soma da série é
.
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