(1,0) Encontre uma solução particular da forma
para a EDO
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma solução particular da equação diferencial ordinária (EDO):
Estamos lidando com EDOs de ordem superior com coeficientes constantes e a parte direita é uma função exponencial. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher uma forma para a solução particular
. Como o lado direito da equação é
, vamos supor que a solução particular seja da forma:
Aqui,
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
que aparecem na EDO. Precisamos até a sexta derivada:
Perceba que todas as derivadas de
são iguais a
.
Passo 4
Vamos substituir
e suas derivadas na EDO:
Substituindo as derivadas:
Passo 5
Agora, vamos somar os termos:
Para encontrar
, igualamos os coeficientes:
Resposta
A solução particular é: