(2,5) Encontre a solução geral da EDO:
d y/d x + 2 y/x = sen(x)/x^2, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem:
Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bem útil para resolver esse tipo de equação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. Ela está na forma padrão:
onde:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ). Ele é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Isso ocorre porque:

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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