Escreva as cinco outras integrais iteradas que são iguais à integral iterada dada
integral-2^2 integral0^4-x^2 integral-raiz4-x^2-y^raiz4-x^2-y f(x, y, z) d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever as cinco outras integrais iteradas que são iguais à integral dada:
integral-2^2 integral0^4-x^2 integral-raiz4-x^2-y^raiz4-x^2-y f(x, y, z) , dz , dy , dx
Estamos trabalhando com integrais triplas aqui, que envolvem três variáveis: , e . Para resolver isso, precisamos entender como mudar a ordem de integração mantendo os limites de integração corretos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem de integração na integral dada: . Isso significa que estamos integrando primeiro em relação a , depois em relação a , e por último em relação a .
Para encontrar as outras cinco integrais, precisamos considerar todas as possíveis permutações da ordem de integração. Como temos três variáveis, há maneiras diferentes de ordenar essas integrais.

Passo 3

As seis possíveis ordens de integração são:
  1. (a dada)
Já temos a primeira, então vamos escrever as outras cinco.

Passo 4

Vamos escrever cada uma das cinco integrais restantes, ajustando os limites de integração conforme a nova ordem.

1. Ordem integral0^4 integral-2^2 integral-raiz4 - x^2 - y^raiz4 - x^2 - y f(x, y, z) , dz , dx , dy

Aqui, integramos primeiro em relação a integral-2^2 integral-raiz4 - x^2 - y^raiz4 - x^2 - y integral0^4 - x^2 f(x, y, z) , dy , dz , dx, depois integral-raiz4 - x^2 - y^raiz4 - x^2 - y integral-2^2 integral0^4 - x^2 f(x, y, z) , dx , dy , dz, e por último integral-raiz4 - x^2 - y^raiz4 - x^2 - y integral0^4 - x^2 integral-2^2 f(x, y, z) , dy , dx , dz.
integral0^4 - x^2 integral-raiz4 - x^2 - y^raiz4 - x^2 - y integral-2^2 f(x, y, z) , dz , dx , dy

2. Ordem

Agora, integramos primeiro em relação a , depois , e por último .

3. Ordem

Aqui, integramos primeiro em relação a , depois , e por último .

4. Ordem

Integramos primeiro em relação a , depois , e por último .

5. Ordem

Finalmente, integramos primeiro em relação a , depois , e por último .

Resposta

As cinco outras integrais iteradas iguais à integral dada são:
  1. integral0^4 integral-2^2 integral-raiz4 - x^2 - y^raiz4 - x^2 - y f(x, y, z) , dz , dx , dy
  2. integral-2^2 integral-raiz4 - x^2 - y^raiz4 - x^2 - y integral0^4 - x^2 f(x, y, z) , dy , dz , dx
  3. integral-raiz4 - x^2 - y^raiz4 - x^2 - y integral-2^2 integral0^4 - x^2 f(x, y, z) , dx , dy , dz
  4. integral-raiz4 - x^2 - y^raiz4 - x^2 - y integral0^4 - x^2 integral-2^2 f(x, y, z) , dy , dx , dz
  5. integral0^4 - x^2 integral-raiz4 - x^2 - y^raiz4 - x^2 - y integral-2^2 f(x, y, z) , dz , dx , dy

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