Escreva as cinco outras integrais iteradas que são iguais à integral iterada dada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever as cinco outras integrais iteradas que são iguais à integral dada:
Estamos trabalhando com integrais triplas aqui, que envolvem três variáveis:
,
e
. Para resolver isso, precisamos entender como mudar a ordem de integração mantendo os limites de integração corretos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a ordem de integração na integral dada:
. Isso significa que estamos integrando primeiro em relação a
, depois em relação a
, e por último em relação a
.
Para encontrar as outras cinco integrais, precisamos considerar todas as possíveis permutações da ordem de integração. Como temos três variáveis, há
maneiras diferentes de ordenar essas integrais.
Passo 3
As seis possíveis ordens de integração são:
-
(a dada) -
-
-
-
-
Já temos a primeira, então vamos escrever as outras cinco.
Passo 4
Vamos escrever cada uma das cinco integrais restantes, ajustando os limites de integração conforme a nova ordem.
1. Ordem
Aqui, integramos primeiro em relação a
, depois
, e por último
.
2. Ordem
Agora, integramos primeiro em relação a
, depois
, e por último
.
3. Ordem
Aqui, integramos primeiro em relação a
, depois
, e por último
.
4. Ordem
Integramos primeiro em relação a
, depois
, e por último
.
5. Ordem
Finalmente, integramos primeiro em relação a
, depois
, e por último
.
Resposta
As cinco outras integrais iteradas iguais à integral dada são:
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.
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