Calcule a soma da série dada. sumk=1^+infty 1k^2(k+1)(k+2)^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma da série infinita:
sumk=1^+infty 1k^2(k+1)(k+2)^2
Aqui, estamos lidando com uma série que envolve frações com termos polinomiais no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais para simplificar os termos da série e, assim, facilitar o cálculo da soma.

Passo 2

Vamos começar decompondo a fração 1k^2(k+1)(k+2)^2 = Ak + Bk^2 + Ck+1 + Dk+2 + E(k+2)^2 em frações parciais. O objetivo é expressar essa fração como uma soma de frações mais simples que sejam mais fáceis de somar.
Assumimos que podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 1 = A cdot k(k+1)(k+2)^2 + B cdot (k+1)(k+2)^2 + C cdot k^2(k+2)^2 + D cdot k^2(k+1)(k+2) + E cdot k^2(k+1) para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar os valores de , , , e que satisfazem essa equação para todos os valores de .

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A cdot 0 cdot 1 cdot 2^2 + B cdot 1 cdot 2^2 + C cdot 0^2 cdot 2^2 + D cdot 0^2 cdot 1 cdot 2 + E cdot 0^2 cdot 1 Rightarrow 1 = 4B Rightarrow B = 14 , 1 = A cdot (-1) cdot 0 cdot 1^2 + B cdot 0 cdot 1^2 + C cdot (-1)^2 cdot 1^2 + D cdot (-1)^2 cdot 0 cdot 1 + E cdot (-1)^2 cdot 0 Rightarrow 1 = C Rightarrow C = 1 , 1 = A cdot (-2) cdot (-1) cdot 0^2 + B cdot (-1) cdot 0^2 + C cdot (-2)^2 cdot 0^2 + D cdot (-2)^2 cdot (-1) cdot 0 + E cdot (-2)^2 cdot (-1) Rightarrow 1 = E cdot 4 cdot (-1) Rightarrow E = -14 , e , vamos escolher valores estratégicos para que simplifiquem a equação.
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora que já temos 1 = A k(k+1)(k+2)^2 + 14(k+1)(k+2)^2 + 1 cdot k^2(k+2)^2 + D k^2(k+1)(k+2) + (-14)k^2(k+1) , A = 14, D = -14 e , precisamos encontrar e . Para isso, podemos expandir a equação original e comparar os coeficientes dos termos correspondentes.
Expandindo a equação:
Vamos simplificar e comparar os coeficientes dos termos de mesmo grau em .
Após comparar os coeficientes, encontramos:

Passo 6

Agora que temos todos os valores das constantes, podemos escrever a decomposição em frações parciais completa:
1k^2(k+1)(k+2)^2 = 1/4k + 1/4k^2 + 1k+1 - 1/4k+2 - 1/4(k+2)^2
Simplificando:
1k^2(k+1)(k+2)^2 = 14k + 14k^2 + 1k+1 - 14(k+2) - 14(k+2)^2

Passo 7

Agora, vamos substituir essa decomposição na série original:
sumk=1^+infty 1k^2(k+1)(k+2)^2 = sumk=1^+infty ( 14k + 14k^2 + 1k+1 - 14(k+2) - 14(k+2)^2 )
Esse tipo de série é uma combinação de séries conhecidas, como a série harmônica, a série e outras séries telescópicas que se cancelam parcialmente.

Passo 8

Vamos dividir a soma em partes separadas:
sumk=1^+infty 14k + sumk=1^+infty 14k^2 + sumk=1^+infty 1k+1 - sumk=1^+infty 14(k+2) - sumk=1^+infty 14(k+2)^2
Agora, vamos calcular cada uma dessas somas individualmente:
  1. → Essa é a série harmônica, que diverge, mas como temos combinação com outras séries, veremos o cancelamento.
  2. (sabemos que )
  3. → Novamente, uma série harmônica que diverge.

Passo 9

Observando as somas que envolvem a série harmônica, vamos ver que elas se cancelam parcialmente:
14 sumk=1^+infty 1k + sumk=2^+infty 1k - 14 sumk=3^+infty 1k
Reescrevendo:
( 14 cdot 1 + 14 cdot 12 ) + ( sumk=3^+infty ( 14k + 1k - 14k ) )
Os termos dentro da soma se cancelam, restando apenas os termos iniciais:
14 + 18 = 38

Passo 10

Agora, vamos calcular as somas que envolvem 14 cdot pi^26 - 14 ( sumk=1^+infty 1k^2 - 11^2 - 12^2 ) = pi^224 - 14 ( pi^26 - 1 - 14 ) :
pi^224 - 14 cdot pi^26 + 14 + 116 = pi^224 - pi^224 + 14 + 116 = 516
Simplificando:

Resposta

A soma da série é .

Exercícios relacionados