Calcule a soma da série dada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma da série infinita:
Aqui, estamos lidando com uma série que envolve frações com termos polinomiais no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais para simplificar os termos da série e, assim, facilitar o cálculo da soma.
Passo 2
Vamos começar decompondo a fração
em frações parciais. O objetivo é expressar essa fração como uma soma de frações mais simples que sejam mais fáceis de somar.
Assumimos que podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar os valores de
,
,
,
e
que satisfazem essa equação para todos os valores de
.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
,
,
e
, vamos escolher valores estratégicos para
que simplifiquem a equação.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora que já temos
,
e
, precisamos encontrar
e
. Para isso, podemos expandir a equação original e comparar os coeficientes dos termos correspondentes.
Expandindo a equação:
Vamos simplificar e comparar os coeficientes dos termos de mesmo grau em
.
Após comparar os coeficientes, encontramos:
Passo 6
Agora que temos todos os valores das constantes, podemos escrever a decomposição em frações parciais completa:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos substituir essa decomposição na série original:
Esse tipo de série é uma combinação de séries conhecidas, como a série harmônica, a série
e outras séries telescópicas que se cancelam parcialmente.
Passo 8
Vamos dividir a soma em partes separadas:
Agora, vamos calcular cada uma dessas somas individualmente:
-
→ Essa é a série harmônica, que diverge, mas como temos combinação com outras séries, veremos o cancelamento. -
(sabemos que ) -
→ Novamente, uma série harmônica que diverge. -
-
Passo 9
Observando as somas que envolvem a série harmônica, vamos ver que elas se cancelam parcialmente:
Reescrevendo:
Os termos dentro da soma se cancelam, restando apenas os termos iniciais:
Passo 10
Agora, vamos calcular as somas que envolvem
:
Simplificando:
Resposta
A soma da série é
.