Resolva o problema de valor inicial dado para a equação diferencial quase Exata: x dx + (x^2 y + 4 y) dy = 0 ; y(4) = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial quase exata:
E sabemos que . O que precisamos fazer é resolver essa equação para encontrar a função que satisfaz essa condição inicial. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes que ajudam a tornar a equação exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos e na nossa equação diferencial:
Uma equação diferencial na forma é exata se satisfizer:
Vamos verificar isso.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Mas calma, ainda dá para resolver usando um fator integrante!

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos assumir que depende apenas de . A condição para isso é:
Após algumas manipulações, descobrimos que o fator integrante é:

Passo 5

Multiplicando toda a equação original pelo fator integrante , temos:
Agora, a equação é exata, o que significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 6

Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de .

Passo 7

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando os termos:
Cancelando dos dois lados:

Passo 8

Integrando em relação a :
Fazendo uma substituição , :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, temos a função potencial completa:
Como , podemos escrever:

Passo 10

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar :
Então, .

Passo 11

Com , a solução geral é:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 12

Finalmente, isolando :

Resposta

A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é:

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