Resolva o problema de valor inicial dado para a equação diferencial quase Exata:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial quase exata:
E sabemos que . O que precisamos fazer é resolver essa equação para encontrar a função que satisfaz essa condição inicial. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes que ajudam a tornar a equação exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos e na nossa equação diferencial:
Uma equação diferencial na forma é exata se satisfizer:
Vamos verificar isso.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Mas calma, ainda dá para resolver usando um fator integrante!
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos assumir que depende apenas de . A condição para isso é:
Após algumas manipulações, descobrimos que o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicando toda a equação original pelo fator integrante , temos:
Agora, a equação é exata, o que significa que existe uma função potencial tal que:
Passo 6
Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de .
Passo 7
Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando os termos:
Cancelando dos dois lados:
Passo 8
Integrando em relação a :
Fazendo uma substituição , :
Onde é a constante de integração.
Passo 9
Agora, temos a função potencial completa:
Como , podemos escrever:
Passo 10
Vamos aplicar a condição inicial para encontrar :
Então, .
Passo 11
Com , a solução geral é:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Passo 12
Finalmente, isolando :
Resposta
A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é: