Resolva o problema de valor inicial dado para a equação diferencial quase Exata: (x^2+y^2-5) dx=(y+xy) dy ; y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem uma equação diferencial quase exata:
çã
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e, mais especificamente, equações exatas ou quase exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a :
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de ou apenas de . Vamos supor que o fator integrante dependa apenas de . A condição para que a equação torne-se exata é:
Substituindo os valores:
Parece complicado, então vamos tentar com um fator integrante que depende apenas de .

Passo 5

Assumindo que o fator integrante depende apenas de , a condição para exatidão fica:
Substituindo os valores:
Ainda complicado. Vamos tentar outro caminho.

Passo 6

Vamos tentar dividir ambos os lados da equação original por :
Isso simplifica para:
Ainda assim, não está claro. Vamos tentar rearranjar a equação para obter .

Passo 7

Rearranjando a equação para isolar :
Vamos tentar simplificar essa expressão.

Passo 8

Observando a expressão:
Podemos dividir o numerador:
Ainda complicado, vamos tentar uma substituição.

Passo 9

Vamos tentar a substituição . Então, .
Substituindo na equação:
Isso nos dá uma equação linear em termos de .

Passo 10

Agora, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear da forma , onde:
Vamos encontrar o fator integrante :

Passo 11

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 12

Integrando ambos os lados em relação a :
Vamos resolver a integral à direita:
Simplificando o numerador:
Podemos dividir a fração:
Integrando termo a termo:
Simplificando:

Passo 13

Voltando à equação principal:
Multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que :

Passo 14

Aplicando a condição inicial :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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