Resolva o problema de valor inicial dado para a equação diferencial quase Exata:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem uma equação diferencial quase exata:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e, mais especificamente, equações exatas ou quase exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
ou apenas de
. Vamos supor que o fator integrante
dependa apenas de
. A condição para que a equação torne-se exata é:
Substituindo os valores:
Parece complicado, então vamos tentar com um fator integrante que depende apenas de
.
Passo 5
Assumindo que o fator integrante
depende apenas de
, a condição para exatidão fica:
Substituindo os valores:
Ainda complicado. Vamos tentar outro caminho.
Passo 6
Vamos tentar dividir ambos os lados da equação original por
:
Isso simplifica para:
Ainda assim, não está claro. Vamos tentar rearranjar a equação para obter
.
Passo 7
Rearranjando a equação para isolar
:
Vamos tentar simplificar essa expressão.
Passo 8
Observando a expressão:
Podemos dividir o numerador:
Ainda complicado, vamos tentar uma substituição.
Passo 9
Vamos tentar a substituição
. Então,
.
Substituindo na equação:
Isso nos dá uma equação linear em termos de
.
Passo 10
Agora, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear da forma
, onde:
Vamos encontrar o fator integrante
:
Passo 11
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 12
Integrando ambos os lados em relação a
:
Vamos resolver a integral à direita:
Simplificando o numerador:
Podemos dividir a fração:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 13
Voltando à equação principal:
Multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
:
Passo 14
Aplicando a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é: