Calcule a soma da série dada. sumk=1^+infty 1k(k+1)(k+2) ldots(k+p), onde p >= 1 é um natural dado.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular a soma da série , onde é um número natural. Para resolver isso, vamos usar técnicas de frações parciais e propriedades de séries telescópicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o termo geral da série: . Esse produto no denominador pode ser visto como , onde representa o produto de termos consecutivos começando em .

Passo 3

Agora, para simplificar, vamos decompor esse termo em frações parciais. A ideia é escrever como uma soma de frações cujo denominador é cada um dos termos individuais .

Passo 4

Depois de decompor, percebemos que a soma se torna telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos da série. Isso simplifica bastante o cálculo da soma infinita.

Resposta

Portanto, a soma da série é:
sumk=1^+infty 1k(k+1)(k+2) ldots(k+p) = 1p cdot p!

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