Calcule a soma da série dada.
, onde
é um natural dado.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular a soma da série
, onde
é um número natural. Para resolver isso, vamos usar técnicas de frações parciais e propriedades de séries telescópicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o termo geral da série:
. Esse produto no denominador pode ser visto como
, onde
representa o produto de
termos consecutivos começando em
.
Passo 3
Agora, para simplificar, vamos decompor esse termo em frações parciais. A ideia é escrever
como uma soma de frações cujo denominador é cada um dos termos individuais
.
Passo 4
Depois de decompor, percebemos que a soma se torna telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos da série. Isso simplifica bastante o cálculo da soma infinita.
Resposta
Portanto, a soma da série é: