Calcule a soma da série dada. $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2) \ldots(k+p)}$, onde $p \geqslant 1$ é um natural dado.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular a soma da série
, onde
é um número natural. Para resolver isso, vamos usar técnicas de frações parciais e propriedades de séries telescópicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o termo geral da série:
. Esse produto no denominador pode ser visto como
, onde
representa o produto de
termos consecutivos começando em
.
Passo 3
Agora, para simplificar, vamos decompor esse termo em frações parciais. A ideia é escrever
como uma soma de frações cujo denominador é cada um dos termos individuais
.
Passo 4
Depois de decompor, percebemos que a soma se torna telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos da série. Isso simplifica bastante o cálculo da soma infinita.
Resposta
Portanto, a soma da série é:
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<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -2.148ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“12.145ex” height=“5.428ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1449.5 5368 2399”><title>{ 2x + y = 5; x - 3y = 0 }</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“7B” d=“M618 -943L612 -949H582L568 -943Q472 -903 411 -841T332 -703Q327 -682 327 -653T325 -350Q324 -28 323 -18Q317 24 301 61T264 124T221 171T179 205T147 225T132 234Q130 238 130 250Q130 255 130 258T131 264T132 267T134 269T139 272T144 275Q207 308 256 367Q310 436 323 519Q324 529 325 851Q326 1124 326 1154T332 1205Q369 1358 566 1443L582 1450H612L618 1444V1429Q618 1413 616 1411L608 1406Q599 1402 585 1393T552 1372T515 1343T479 1305T449 1257T429 1200Q425 1180 425 1152T423 851Q422 579 422 549T416 498Q407 459 388 424T346 364T297 318T250 284T214 264T197 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</body></html>
Calcule a soma da série dada.
<html><head></head><body><div>Resolva o problema de valor inicial dado para a equação diferencial quase Exata: <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“38.077ex” height=“2.713ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -849.5 16830.2 1199”><title>(x2+y2-5) dx=(y+xy) dy ; y(0)=1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“28” d=“M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(458,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 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