Calcule a soma da série dada. sumn=1^+infty n alpha^n, 0.

Passo 1

Vamos calcular a soma da série sumn=1^+infty n alpha^n, onde 0 < alpha < 1. Esse tipo de série envolve progressões geométricas e séries infinitas. Para resolver, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e derivadas de séries.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
sumn=0^+infty alpha^n = 11 - alpha, onde |alpha| < 1
Como nossa série começa em n=1, podemos ajustar a fórmula:
sumn=1^+infty alpha^n = alpha1 - alpha

Passo 3

Agora, queremos encontrar a soma da série onde cada termo é multiplicado por n, ou seja, sumn=1^+infty n alpha^n. Para isso, vamos derivar a série geométrica em relação a alpha.
Primeiro, derivamos ambos os lados da fórmula da série geométrica:
ddalpha(sumn=0^+infty alpha^n) = ddalpha(11 - alpha)
Isso resulta em:
sumn=1^+infty n alpha^n-1 = 1(1 - alpha)^2

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por alpha, obtemos:
sumn=1^+infty n alpha^n = alpha(1 - alpha)^2

Resposta

A soma da série é:
sumn=1^+infty n alpha^n = alpha(1 - alpha)^2

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