Calcule a soma da série dada.
.
Passo 1
Vamos calcular a soma da série
, onde
. Esse tipo de série envolve progressões geométricas e séries infinitas. Para resolver, vamos utilizar conceitos de séries geométricas e derivadas de séries.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Como nossa série começa em
, podemos ajustar a fórmula:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a soma da série onde cada termo é multiplicado por
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a série geométrica em relação a
.
Primeiro, derivamos ambos os lados da fórmula da série geométrica:
Isso resulta em:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por
, obtemos:
Resposta
A soma da série é: