Seja f(x) = x - raiz(1 - x^2). Mostre que f tem pelo menos um zero em [-1, 1].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos mostrar que ela tem pelo menos um zero no intervalo . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de zeros em um intervalo se a função for contínua e assumir valores de sinais opostos nas extremidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função nas extremidades do intervalo, ou seja, para e .

Passo 3

Calculando :
Então, .

Passo 4

Calculando :
Portanto, .

Passo 5

Agora, observamos que:
  • (negativo)
  • (positivo)
Como a função é contínua no intervalo (já que ela é composta por funções contínuas como a identidade e a raiz quadrada), e os valores nas extremidades têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um valor em tal que .

Resposta

A função tem pelo menos um zero no intervalo .

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