Seja
. Mostre que
tem pelo menos um zero em
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos mostrar que ela tem pelo menos um zero no intervalo
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar a existência de zeros em um intervalo se a função for contínua e assumir valores de sinais opostos nas extremidades.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função
nas extremidades do intervalo, ou seja, para
e
.
Passo 3
Calculando
:
Então,
.
Passo 4
Calculando
:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, observamos que:
-
(negativo) -
(positivo)
Como a função
é contínua no intervalo
(já que ela é composta por funções contínuas como a identidade e a raiz quadrada), e os valores nas extremidades têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um valor
em
tal que
.
Resposta
A função
tem pelo menos um zero no intervalo
.
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Mostre que a conclusão do Teorema do Valor Intermediário é falsa se
é descontínua em
.
Considere uma população de bactérias que cresce segundo a função
, onde
representa o tempo em horas.
Calcule o limite e interprete o resultado no contexto do problema.
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com precisão de duas casas decimais.
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.