Calcule a soma da série
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma da série infinita
. Aqui, estamos lidando com uma série infinita, que é basicamente a soma de um número infinito de termos. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar termos complexos em frações mais simples que são mais fáceis de somar.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no termo geral da série:
. Nosso objetivo é decompor essa fração em frações parciais, ou seja, expressá-la como a soma de frações mais simples. A ideia é encontrar números
,
, e
tais que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Vamos escolher valores específicos de
para simplificar a equação:
-
Se
: -
Se
: -
Para encontrar
, podemos usar :
Passo 4
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos somar esses termos de
até
e ver o que acontece quando
tende ao infinito:
Isso resulta em uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam mutuamente.
Passo 6
Ao expandir a soma, percebemos que a maioria dos termos se cancela, restando apenas os termos iniciais e finais:
Simplificando:
Resposta
A soma da série
é
.
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