Calcule a soma da série .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma da série infinita . Aqui, estamos lidando com uma série infinita, que é basicamente a soma de um número infinito de termos. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar termos complexos em frações mais simples que são mais fáceis de somar.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no termo geral da série: . Nosso objetivo é decompor essa fração em frações parciais, ou seja, expressá-la como a soma de frações mais simples. A ideia é encontrar números , , e tais que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de , e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por :
Vamos escolher valores específicos de para simplificar a equação:
  1. Se :
  2. Se :
  3. Para encontrar , podemos usar :

Passo 4

Com os valores de , e encontrados, podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos somar esses termos de até e ver o que acontece quando tende ao infinito:
Isso resulta em uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam mutuamente.

Passo 6

Ao expandir a soma, percebemos que a maioria dos termos se cancela, restando apenas os termos iniciais e finais:
Simplificando:

Resposta

A soma da série é .

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