Calcule a soma da série sumk=1^infty alpha+3k(k+1)(k+2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma da série infinita . Aqui, estamos lidando com uma série infinita, que é basicamente a soma de um número infinito de termos. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar termos complexos em frações mais simples que são mais fáceis de somar.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no termo geral da série: alpha + 3k(k+1)(k+2) = Ak + Bk+1 + Ck+2 . Nosso objetivo é decompor essa fração em frações parciais, ou seja, expressá-la como a soma de frações mais simples. A ideia é encontrar números , , e tais que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de alpha + 3 = A(k+1)(k+2) + B(k)(k+2) + C(k)(k+1) , alpha + 3 = A(0)(1) + B(-1)(1) + C(-1)(0) Rightarrow alpha + 3 = -B Rightarrow B = -(alpha + 3) e alpha + 3 = A(-1)(0) + B(-2)(0) + C(-2)(-1) Rightarrow alpha + 3 = 2C Rightarrow C = alpha + 32 . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por alpha + 3 = A(1)(2) + B(0)(2) + C(0)(1) Rightarrow alpha + 3 = 2A Rightarrow A = alpha + 32 :
Vamos escolher valores específicos de para simplificar a equação:
  1. Se :
  2. Se :
  3. Para encontrar , podemos usar :

Passo 4

Com os valores de alpha + 3k(k+1)(k+2) = alpha + 32k + -(alpha + 3)k+1 + alpha + 32k+2 , alpha + 3k(k+1)(k+2) = alpha + 32k - alpha + 3k+1 + alpha + 32(k+2) e encontrados, podemos reescrever a fração original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos somar esses termos de sumk=1^n ( alpha + 32k - alpha + 3k+1 + alpha + 32(k+2) ) até e ver o que acontece quando tende ao infinito:
Isso resulta em uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam mutuamente.

Passo 6

Ao expandir a soma, percebemos que a maioria dos termos se cancela, restando apenas os termos iniciais e finais:
alpha + 32 (1 + 12) - (alpha + 3) (12)
Simplificando:
alpha + 32 cdot 32 - alpha + 32 = 3(alpha + 3)4 - alpha + 32 = 3(alpha + 3) - 2(alpha + 3)4 = (alpha + 3)4

Resposta

A soma da série é .

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