Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série
e descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta bacana para séries que se parecem com integrais. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e como elas se relacionam com séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar nosso trabalho. Observa que
é o produto de
e
. Podemos reescrever a série assim:
Como
é uma constante, a convergência da série depende de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se
é uma função positiva, contínua e decrescente para
, então a série
e a integral
convergem ou divergem juntas.
Nossa função aqui é
. Vamos verificar se ela é positiva, contínua e decrescente:
- Positiva: Sim, para
e , o denominador é positivo. - Contínua: Sim, a função é contínua para
. - Decrescente: Sim, conforme
aumenta, diminui.
Passo 4
Agora, calculamos a integral correspondente:
Fazendo uma substituição para simplificar, seja
. Então,
. Portanto,
, mas isso não simplifica diretamente. Em vez disso, reconhecemos que a integral
é conhecida por divergir, porque sua antiderivada é
, que tende ao infinito quando
vai para o infinito.
Passo 5
Como a integral
diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Passo 6
Lembre-se que reiniciamos a série original multiplicando por
, que é uma constante. Multiplicar uma série divergente por uma constante diferente de zero ainda resulta em uma série divergente.
Resposta
A série
diverge. Utilizamos o Teste da Integral para chegar a essa conclusão, mostrando que a série não converge.
Exercícios relacionados
Calcule a soma da série
.
Calcule a soma das séries, justificando:
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Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(h)
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Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(i)
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