Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série e descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta bacana para séries que se parecem com integrais. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e como elas se relacionam com séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar nosso trabalho. Observa que é o produto de e . Podemos reescrever a série assim:
Como é uma constante, a convergência da série depende de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se é uma função positiva, contínua e decrescente para , então a série e a integral convergem ou divergem juntas.
Nossa função aqui é . Vamos verificar se ela é positiva, contínua e decrescente:
  • Positiva: Sim, para e , o denominador é positivo.
  • Contínua: Sim, a função é contínua para .
  • Decrescente: Sim, conforme aumenta, diminui.

Passo 4

Agora, calculamos a integral correspondente:
Fazendo uma substituição para simplificar, seja . Então, . Portanto, , mas isso não simplifica diretamente. Em vez disso, reconhecemos que a integral é conhecida por divergir, porque sua antiderivada é , que tende ao infinito quando vai para o infinito.

Passo 5

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Passo 6

Lembre-se que reiniciamos a série original multiplicando por , que é uma constante. Multiplicar uma série divergente por uma constante diferente de zero ainda resulta em uma série divergente.

Resposta

A série diverge. Utilizamos o Teste da Integral para chegar a essa conclusão, mostrando que a série não converge.

Exercícios relacionados

Calcule a soma da série .
Calcule a soma das séries, justificando:
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Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(h)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(i)