Calcule a soma das séries, justificando:
(a)

Passo 1

Então, galera! A gente tem que calcular a soma de uma série infinita que é assim:
Aqui, estamos lidando com séries geométricas, que é um tópico da Matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o termo geral da série e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série para deixar tudo mais claro. A expressão original é:
A gente pode reescrever isso usando as propriedades das potências:
Então, substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos observar a parte que envolve :
Então, toda a expressão fica:

Passo 4

Percebemos que essa série é uma série geométrica da forma:
Onde e .
Para uma série geométrica infinita, a soma é dada por:
Mas isso só vale se . Vamos assumir que isso seja verdadeiro para o nosso caso.

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Podemos simplificar ainda mais multiplicando o numerador e o denominador por :

Resposta

A soma da série é:

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Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(f)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(d)
Calcule a soma das séries, justificando:
©
Calcule a soma da série .