Calcule a soma das séries, justificando:
(a)
(a)
Passo 1
Então, galera! A gente tem que calcular a soma de uma série infinita que é assim:
Aqui, estamos lidando com séries geométricas, que é um tópico da Matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o termo geral da série e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série para deixar tudo mais claro. A expressão original é:
A gente pode reescrever isso usando as propriedades das potências:
Então, substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos observar a parte que envolve
:
Então, toda a expressão fica:
Passo 4
Percebemos que essa série é uma série geométrica da forma:
Onde
e
.
Para uma série geométrica infinita, a soma é dada por:
Mas isso só vale se
. Vamos assumir que isso seja verdadeiro para o nosso caso.
Passo 5
Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
Podemos simplificar ainda mais multiplicando o numerador e o denominador por
:
Resposta
A soma da série é:
Exercícios relacionados
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(f)
(f)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(d)
(d)
Calcule a soma das séries, justificando:
©
©
Calcule a soma da série
.