Calcule a soma das séries, justificando:
(a) sumn=1^infty 2^alpha n+15^n cdot 3^alpha n+2

Passo 1

Então, galera! A gente tem que calcular a soma de uma série infinita que é assim:
sumn=1^infty 2^alpha n +15^n cdot 3^alpha n +2
Aqui, estamos lidando com séries geométricas, que é um tópico da Matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar o termo geral da série e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série para deixar tudo mais claro. A expressão original é:
2^alpha n +15^n cdot 3^alpha n +2
A gente pode reescrever isso usando as propriedades das potências:
2^alpha n +1 = 2 cdot 2^alpha n
3^alpha n +2 = 3^alpha n cdot 3^2 = 9 cdot 3^alpha n
Então, substituindo de volta:
2 cdot 2^alpha n5^n cdot 9 cdot 3^alpha n = 29 cdot 2^alpha n5^n cdot 3^alpha n

Passo 3

Agora, vamos observar a parte que envolve 2^alpha n5^n cdot 3^alpha n = (2^alpha5 cdot 3^alpha)^n :
29 cdot (2^alpha5 cdot 3^alpha)^n
Então, toda a expressão fica:

Passo 4

Percebemos que essa série é uma série geométrica da forma:
sumn=1^infty ar^n
Onde S = a r1 - r e .
Para uma série geométrica infinita, a soma é dada por:
Mas isso só vale se . Vamos assumir que isso seja verdadeiro para o nosso caso.

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
S = 29 cdot 2^alpha5 cdot 3^alpha1 - 2^alpha5 cdot 3^alpha = 2 cdot 2^alpha9 cdot 5 cdot 3^alpha1 - 2^alpha5 cdot 3^alpha
Podemos simplificar ainda mais multiplicando o numerador e o denominador por S = 2 cdot 2^alpha9 cdot 5 cdot 3^alpha cdot 5 cdot 3^alpha5 cdot 3^alpha - 2^alpha = 2 cdot 2^alpha9 cdot (5 cdot 3^alpha - 2^alpha) :

Resposta

A soma da série é:
S = 2^alpha +19 cdot (5 cdot 3^alpha - 2^alpha)

Exercícios relacionados