Calcule a soma das séries, justificando:
© sumn=0^infty[alpha5^n+1+1alpha(n+1)(n+2)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a soma da série:
sumn=0^infty[alpha5^n+1+1alpha(n+1)(n+2)]
Isso envolve dois conceitos principais de matemática: séries geométricas e séries telescópicas. Vamos resolver cada parte separadamente e depois juntar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a soma da parte que envolve a série geométrica:
sumn=0^infty alpha5^n+1
Uma série geométrica tem a forma geral S = a1 - r se |r| < 1 , onde S1 = alpha51 - 15 = alpha545 = alpha4 é o primeiro termo e é a razão comum. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
No nosso caso:
  • (o primeiro termo quando )
Aplicando a fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda parte da série:
sumn=0^infty 1alpha(n+1)(n+2)
Essa é uma série telescópica, que é uma série onde muitos termos se cancelam quando a série é expandida. Para simplificar, vamos usar frações parciais:
1(n+1)(n+2) = 1n+1 - 1n+2
Então, a série fica:
sumn=0^infty 1alpha(1n+1 - 1n+2) = 1alpha sumn=0^infty (1n+1 - 1n+2)
Vamos expandir os primeiros termos para ver o que acontece:
1alpha [ (11 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14) + dots ]
Perceba que quase todos os termos se cancelam, sobrando apenas o primeiro termo:
1alpha (1 - 0) = 1alpha

Passo 4

Agora, juntamos as duas partes que calculamos:
Stotal = S1 + S2 = alpha4 + 1alpha

Resposta

A soma da série é .

Exercícios relacionados