Calcule a soma das séries, justificando:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a soma da série:
Isso envolve dois conceitos principais de matemática: séries geométricas e séries telescópicas. Vamos resolver cada parte separadamente e depois juntar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a soma da parte que envolve a série geométrica:
Uma série geométrica tem a forma geral , onde é o primeiro termo e é a razão comum. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
No nosso caso:
  • (o primeiro termo quando )
Aplicando a fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda parte da série:
Essa é uma série telescópica, que é uma série onde muitos termos se cancelam quando a série é expandida. Para simplificar, vamos usar frações parciais:
Então, a série fica:
Vamos expandir os primeiros termos para ver o que acontece:
Perceba que quase todos os termos se cancelam, sobrando apenas o primeiro termo:

Passo 4

Agora, juntamos as duas partes que calculamos:

Resposta

A soma da série é .

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Calcule a soma das séries, justificando:
(a)
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(f)
Calcule a soma da série .
Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
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