Usando o critério do termo geral, mostre a divergência de:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você nos mandou. A gente precisa usar o critério do termo geral para mostrar que a série
diverge. O critério do termo geral é uma ferramenta básica para determinar se uma série não vai se somar para um número finito. Vamos precisar entender como calcular limites e aplicar esse critério direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o critério do termo geral. Esse critério diz que se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, então a série
não converge, ou seja, diverge.
Matematicamente, isso é expresso como:
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, o termo geral
é:
Passo 4
Vamos calcular o limite desse termo geral quando
tende ao infinito. Ou seja, queremos encontrar:
Passo 5
Para resolver esse limite, observamos o crescimento das funções no numerador e denominador. A função
é uma função exponencial, que cresce muito mais rápido que a função
, que é um polinômio.
Isso significa que conforme
aumenta,
vai crescer muito mais do que
, fazendo com que a fração
cresça sem limites.
Passo 6
Calculando o limite formally:
Como o limite é infinito (ou seja, não é zero), isso satisfaz a condição do critério do termo geral para a divergência.
Resposta
Portanto, pela aplicação do critério do termo geral, a série
diverge.