Usando o critério do termo geral, mostre a divergência de:
sumk=1^infty 2^kk^3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você nos mandou. A gente precisa usar o critério do termo geral para mostrar que a série diverge. O critério do termo geral é uma ferramenta básica para determinar se uma série não vai se somar para um número finito. Vamos precisar entender como calcular limites e aplicar esse critério direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o critério do termo geral. Esse critério diz que se o limite do termo geral Se limk to infty ak neq 0, então a série sum ak diver>= quando tende ao infinito não for zero, então a série não converge, ou seja, diverge.
Matematicamente, isso é expresso como:
ãé

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. No caso, o termo geral ak = 2^kk^3 é:

Passo 4

Vamos calcular o limite desse termo geral quando limk to infty 2^kk^3 tende ao infinito. Ou seja, queremos encontrar:

Passo 5

Para resolver esse limite, observamos o crescimento das funções no numerador e denominador. A função é uma função exponencial, que cresce muito mais rápido que a função , que é um polinômio.
Isso significa que conforme aumenta, vai crescer muito mais do que , fazendo com que a fração cresça sem limites.

Passo 6

Calculando o limite formally:
limk to infty 2^kk^3 = infty
Como o limite é infinito (ou seja, não é zero), isso satisfaz a condição do critério do termo geral para a divergência.

Resposta

Portanto, pela aplicação do critério do termo geral, a série diverge.

Exercícios relacionados