Calcule a soma da série:
sumk=1^infty(-1)^k 2^2 k-17^k

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos calcular a soma da série infinita:
sumk=1^infty(-1)^k 2^2 k-17^k
Este problema envolve séries geométricas e a convergência de séries. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão geral da série e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
(-1)^k 2^2k-17^k
Perceba que (-1)^k 4^k2 cdot 7^k = (-1)^k cdot 4^k2 cdot 7^k = (-4)^k2 cdot 7^k = 12 ( -47 )^k . Substituindo na expressão:
sumk=1^infty 12 ( -47 )^k = 12 sumk=1^infty ( -47 )^k
Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, identificamos que temos uma série geométrica da forma , onde . Para que a série convirja, o valor absoluto de deve ser menor que 1, o que é verdade nesse caso ( ).

Passo 4

A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
sumk=1^infty r^k = r1 - r
Aplicando essa fórmula ao nosso caso:
sumk=1^infty ( -47 )^k = -471 - -47 = -47117 = -411

Passo 5

Agora, voltamos à expressão inicial da série:
12 sumk=1^infty ( -47 )^k = 12 cdot ( -411 ) = -422 = -211

Resposta

A soma da série é .

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