Usando o critério da razão, determine a convergência ou divergência de:
sumk=1^infty (4-pi)^kk^3+4

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente precisa verificar se a série infinita converge ou diverge utilizando o critério da razão. Para isso, vamos precisar conhecer como funciona esse critério e aplicar corretamente os passos para chegar à conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o critério da razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série infinita. Ele diz que, para uma série , a gente calcula o limite . Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não nos dá uma resposta definitiva.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série, que é . Precisamos calcular o limite do quociente quando tende ao infinito.

Passo 4

Vamos montar esse quociente:
| ak+1ak | = | (4-pi)^k+1(k+1)^3+4 cdot k^3+4(4-pi)^k | = |4 - pi| cdot k^3+4(k+1)^3+4

Passo 5

Observando , sabemos que , então . Assim, , que é menor que 1. Agora, vamos analisar o comportamento da fração quando fica bem grande.

Passo 6

Para números grandes de k^3+4(k+1)^3+4 approx k^3(k+1)^3 = ( kk+1 )^3 approx (1 - 1k+1)^3 , os termos e dominam na fração. Assim, podemos aproximar:
Quando tende ao infinito, tende a 1.

Passo 7

Então, o limite L = limk to infty |4 - pi| cdot k^3+4(k+1)^3+4 = |4 - pi| cdot 1 approx 0,86 < 1 fica:

Resposta

Como , pelo critério da razão, a série converge.

Exercícios relacionados