Usando o critério da comparação, mostre a divergência de:
sumk=2^infty 1ln ^2 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de séries numéricas, mais especificamente, precisamos mostrar que a série diverge. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Comparação, que nos ajuda a comparar nossa série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge. A ideia aqui é encontrar uma série conhecida que seja menor ou igual à nossa série e que diverge, o que nos ajudará a concluir que a nossa também diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa a série . Aqui, estamos somando os termos para todos os valores de a partir de 2 até o infinito. Nosso objetivo é verificar se essa soma cresce sem limites (ou seja, diverge) ou se se aproxima de um valor finito (ou seja, converge).

Passo 3

Vamos usar o Critério da Comparação. Esse critério nos diz que se temos duas séries e com para todo grande o suficiente, e se diverge, então também diverge.

Passo 4

Precisamos encontrar uma série que seja menor ou igual à nossa série e que sabemos que diverge. Vamos pensar em uma série mais simples, como , que é a famosa série harmônica e sabemos que ela diverge.

Passo 5

Agora, vamos comparar os termos das duas séries:
1ln^2 k >= 1k, para todo k >= e^2
Isso porque 1ln^2 k >= 1k para suficientemente grande, o que implica que , então:

Passo 6

Como a série harmônica diverge e para grande o suficiente, pelo Critério da Comparação, podemos concluir que a série também diverge.

Resposta

Portanto, usando o Critério da Comparação, mostramos que a série diverge.

Exercícios relacionados