Usando o critério da comparação, mostre a divergência de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de séries numéricas, mais especificamente, precisamos mostrar que a série
diverge. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Comparação, que nos ajuda a comparar nossa série com outra que já sabemos se ela converge ou diverge. A ideia aqui é encontrar uma série conhecida que seja menor ou igual à nossa série e que diverge, o que nos ajudará a concluir que a nossa também diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa a série
. Aqui, estamos somando os termos
para todos os valores de
a partir de 2 até o infinito. Nosso objetivo é verificar se essa soma cresce sem limites (ou seja, diverge) ou se se aproxima de um valor finito (ou seja, converge).
Passo 3
Vamos usar o Critério da Comparação. Esse critério nos diz que se temos duas séries
e
com
para todo
grande o suficiente, e se
diverge, então
também diverge.
Passo 4
Precisamos encontrar uma série
que seja menor ou igual à nossa série
e que sabemos que diverge. Vamos pensar em uma série mais simples, como
, que é a famosa série harmônica e sabemos que ela diverge.
Passo 5
Agora, vamos comparar os termos das duas séries:
Isso porque
para
suficientemente grande, o que implica que
, então:
Passo 6
Como a série harmônica
diverge e
para
grande o suficiente, pelo Critério da Comparação, podemos concluir que a série
também diverge.
Resposta
Portanto, usando o Critério da Comparação, mostramos que a série
diverge.