Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias: 1.5 y'' - y = 4 cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária . Essa é uma equação linear de segunda ordem com termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar entender as soluções da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para essa equação específica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é a parte da equação sem o termo não homogêneo . Para resolver, assumimos uma solução do tipo , onde é uma constante a ser encontrada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir ambos os lados por (já que ):

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática :

Passo 5

Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo não homogêneo é , tentamos uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculando as derivadas de :

Passo 8

Substituindo e na equação original:
Simplificando:

Passo 9

Comparando os coeficientes dos termos e :

Passo 10

Portanto, a solução particular é:

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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