Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária
. Essa é uma equação linear de segunda ordem com termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar entender as soluções da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para essa equação específica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é a parte da equação sem o termo não homogêneo
. Para resolver, assumimos uma solução do tipo
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Podemos dividir ambos os lados por
(já que
):
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
:
Passo 5
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é
, tentamos uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Passo 8
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 9
Comparando os coeficientes dos termos
e
:
Passo 10
Portanto, a solução particular é:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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