Resolva o problema de valor inicial
y'' + 9y = 3 delta(t - pi), y(0) = 1, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de equação diferencial com condições iniciais:
Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente envolvendo a função delta de Dirac. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver EDOs, especialmente quando temos impulsos como o delta de Dirac.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace transforma a equação diferencial no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução.
A equação original é:
Aplicando a Transformada de Laplace:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar como a Transformada de Laplace age sobre as derivadas e sobre a função delta de Dirac.
  • Para :
    onde é a Transformada de Laplace de .
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Substituindo essas transformadas na equação:
Agora, vamos inserir os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 5

Isolando :
Podemos separar a fração em duas partes:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para cada termo separadamente.
  1. Para :
    Sabemos que:
    Aqui, , então:
  2. Para :
    Usamos a propriedade de atraso da Transformada de Laplace:
    Onde e .
    Sabemos que:
    Portanto:

Resposta

Juntando tudo, a solução da equação diferencial é:
Onde é a função degrau de Heaviside, que “ativa” o termo a partir de .

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