Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de equação diferencial com condições iniciais:
Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente envolvendo a função delta de Dirac. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver EDOs, especialmente quando temos impulsos como o delta de Dirac.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace transforma a equação diferencial no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a solução.
A equação original é:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar como a Transformada de Laplace age sobre as derivadas e sobre a função delta de Dirac.
-
Para
: ondeé a Transformada de Laplace de . -
Para
: -
Para
:
Passo 4
Substituindo essas transformadas na equação:
Agora, vamos inserir os valores das condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 5
Isolando
:
Podemos separar a fração em duas partes:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para cada termo separadamente.
-
Para
: Sabemos que:Aqui,, então: -
Para
: Usamos a propriedade de atraso da Transformada de Laplace:Ondee . Sabemos que:Portanto:
Resposta
Juntando tudo, a solução da equação diferencial é:
Onde
é a função degrau de Heaviside, que “ativa” o termo
a partir de
.
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cujas somas parciais são dadas:
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