Calcule a soma das séries abaixo.
(j)
(j)
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a soma da série infinita
. Esse exercício envolve o estudo de séries infinitas, especificamente uma série geométrica e uma série harmônica. Vamos precisar entender como cada uma delas se comporta para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série original em duas partes para facilitar a análise:
Passo 3
Vamos calcular a primeira série:
. Essa é uma série geométrica onde cada termo é dado por
. Nas séries geométricas, a soma infinita converge se a razão
for menor que 1 em módulo.
Aqui, a razão
, que é menor que 1. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde
é o primeiro termo.
No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda série:
. Essa é uma série harmônica, que é conhecida por divergir. A série harmônica é dada por:
Sabemos que essa série não tem soma finita; ela cresce sem limite à medida que adicionamos mais termos.
Como a segunda série diverge, independente do valor da primeira, a soma total também será infinita.
Resposta
A soma da série
diverge, ou seja, não possui uma soma finita.