Calcule a soma das séries abaixo.
(j) sumn=1^infty(35^n+2n)

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a soma da série infinita . Esse exercício envolve o estudo de séries infinitas, especificamente uma série geométrica e uma série harmônica. Vamos precisar entender como cada uma delas se comporta para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas partes para facilitar a análise:
sumn=1^infty(35^n+2n) = sumn=1^infty35^n + sumn=1^infty2n

Passo 3

Vamos calcular a primeira série: S = a1 - r . Essa é uma série geométrica onde cada termo é dado por S = 351 - 15 = 3545 = 34 . Nas séries geométricas, a soma infinita converge se a razão for menor que 1 em módulo.
Aqui, a razão , que é menor que 1. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
onde é o primeiro termo.
No nosso caso, e , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda série: sumn=1^infty1n = 1 + 12 + 13 + 14 + cdots . Essa é uma série harmônica, que é conhecida por divergir. A série harmônica é dada por:
Sabemos que essa série não tem soma finita; ela cresce sem limite à medida que adicionamos mais termos.
Como a segunda série diverge, independente do valor da primeira, a soma total também será infinita.

Resposta

A soma da série diverge, ou seja, não possui uma soma finita.

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