Uma esfera com 60 cm de raio tem seu centro na origem. Cargas idênticas de 3 mu C são colocadas a intervalos de 60^circ ao longo do plano equatorial da esfera. (a) Qual é o valor do potencial elétrico na origem? (b) Qual é o valor do potencial elétrico no pólo norte?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletricidade! A gente tem uma esfera com raio de 60 cm, e o centro dela tá na origem. Colocaram várias cargas idênticas de ao longo do plano equatorial da esfera, separadas por . Vamos calcular o potencial elétrico na origem e no pólo norte. Para isso, vamos precisar saber como calcular o potencial elétrico devido a várias cargas e usar um pouco de geometria para entender as distâncias envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico devido a uma única carga. A fórmula é:
V = k cdot qr
Onde:
  • é o potencial elétrico,
  • é a constante eletrostática ( ²²),
  • é a carga,
  • é a distância da carga até o ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 3

Como temos várias cargas, o potencial total será a soma dos potenciais individuais, porque o potencial é uma quantidade escalar e não se anula com a direção. Então, se temos Vtotal = sumi=1^n k cdot qiri cargas, o potencial total será:

Passo 4

Vamos visualizar a disposição das cargas na esfera. Como elas estão a cada no plano equatorial, isso significa que temos 6 cargas distribuídas uniformemente em volta da esfera (360° / 60° = 6). Cada uma está a 60 cm do centro.

Passo 5

Agora, vamos calcular o potencial na origem. A origem é o centro da esfera, então a distância de cada carga até a origem é exatamente o raio da esfera, que é 60 cm ou 0,6 m.
Usando a fórmula do potencial elétrico para cada carga:
Vi = 9 times 10^9, N·m²/C² times 3 times 10^-6, C0,6, m ²²
Isso dá o potencial devido a uma única carga na origem.

Passo 6

Como temos 6 cargas iguais à mesma distância da origem, o potencial total na origem será 6 vezes o potencial de uma única carga:
Vori>=m = 6 times Vi

Passo 7

Vamos agora calcular o potencial no pólo norte. A distância de cada carga ao pólo norte não é mais simplesmente o raio da esfera. Precisamos calcular essa distância usando geometria.
Como as cargas estão no plano equatorial e o pólo norte está a um ângulo de d = raiz0,6^2 + 0,6^2 = raiz0,72 approx 0,8485, m em relação a cada carga, a distância de cada carga ao pólo norte é a hipotenusa de um triângulo retângulo com lados de 0,6 m (raio da esfera) e 0,6 m.
Então, a distância é:

Resposta

(a) O potencial elétrico na origem é aproximadamente .
(b) O potencial elétrico no pólo norte é aproximadamente .

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