Uma carga q é posicionada em x=0 e uma carga -3 q é posicionada em x=1 m. (a) Determine V(x) para um ponto genérico sobre o eixo x. (b) Determine os pontos sobre o eixo x onde o potencial é nulo.
© Qual é o valor do campo elétrico nesses pontos? (d) Faça um esquema mostrando a curva V(x) versus x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas cargas elétricas posicionadas ao longo do eixo x: uma carga positiva em e uma carga negativa em . Vamos trabalhar com conceitos de potencial elétrico e campo elétrico. Precisamos calcular o potencial total em um ponto genérico ao longo do eixo x, encontrar onde esse potencial é zero, determinar o campo elétrico nesses pontos e, por fim, esboçar o gráfico de em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o potencial elétrico V = k Qr em um ponto qualquer ao longo do eixo x devido às duas cargas. O potencial elétrico criado por uma carga pontual V(x) = V1 + V2 = k q|x| + k -3q|x - 1| em uma distância V(x) = k qx - 3 k q|x - 1| é dado por:
onde é a constante eletrostática.
Como temos duas cargas, o potencial total é a soma dos potenciais criados por cada carga separadamente, devido ao princípio da superposição:
Então, a expressão para é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos ao longo do eixo x onde o potencial k qx - 3 k q|x - 1| = 0 é nulo, ou seja, onde 1x = 3|x - 1| .
Usando a expressão que encontramos:
1x = 31 - x
Podemos simplificar cancelando 1 - x = 3x (assumindo que 1 = 4x ):
x = 14 , m
Vamos resolver essa equação considerando os casos onde 1x = 3x - 1 e x - 1 = 3x :
  1. Para -1 = 2x :
x = -12 , m
Multiplicando ambos os lados por :
  1. Para :
Multiplicando ambos os lados por :
Mas , então essa solução não é válida nesse intervalo.
Portanto, o único ponto onde o potencial é nulo está em .

Passo 4

Vamos determinar o campo elétrico E = -dVdx nesse ponto onde o potencial é zero, ou seja, em E(x) = E1 + E2 = k qx^2 - k 3q(1 - x)^2 .
O campo elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
E(14) = k q(14)^2 - k 3q(1 - 14)^2
Alternativamente, podemos calcular o campo elétrico diretamente somando os campos criados por cada carga:
E(14) = k q116 - k 3q(34)^2
Substituindo E(14) = 16 k q - 16 k q3 :
E(14) = (16 - 163) k q
E(14) = 323 k q
Portanto, o campo elétrico nesse ponto é na direção positiva do eixo x.

Passo 5

Por fim, vamos esboçar a curva versus .
  1. Para :
    • O potencial é positivo devido à carga e negativo devido à carga . Próximo a , o potencial tende a .
  2. Entre e :
    • O potencial varia, passando por zero em .
  3. Para :
    • O potencial é negativo, já que a carga dominante é .
O gráfico terá uma continuidade com uma assíntota vertical em e outro em , cruzando o eixo x em .

Resposta

(a) O potencial elétrico genérico é .
(b) O potencial é nulo em .
© O campo elétrico nesse ponto é na direção positiva do eixo x.
(d) A curva versus apresenta um cruzamento no ponto , com assíntotas verticais em e , variando de a conforme se move ao longo do eixo.

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