Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma da série infinita:
Aqui, estamos lidando com uma série que envolve logaritmos e funções quadráticas. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série e verificar se a soma converge ou diverge.
Passo 2
Vamos começar observando o termo geral da série:
Podemos simplificar essa expressão dividindo os numeradores e denominadores pelos termos dominantes, que são os :
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite desse termo quando tende ao infinito:
Quando fica muito grande, os termos tendem a zero, então a expressão dentro do logaritmo fica aproximadamente:
Sabemos que é um número constante negativo.
Passo 4
Para determinar se a série converge ou diverge, usamos o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite do termo geral da série não for zero, então a série não converge.
No nosso caso:
Isso significa que os termos da série não estão se aproximando de zero.
Passo 5
Como o limite do termo geral não é zero, de acordo com o Teste da Divergência, a série:
não converge; ou seja, a soma tende a menos infinito.
Resposta
A soma da série é divergente, ou seja, tende a menos infinito.