Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
sumn=1^infty 1raizn+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para verificar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da matemática para determinar a convergência de séries. Precisamos lembrar que esse teste envolve comparar a série com uma integral equivalente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está sendo somada na série. No caso, nossa função é . Essa função precisa ser positiva, contínua e monótona decrescente para aplicarmos o Teste da Integral.

Passo 3

Vamos verificar se é positiva. Como o denominador é sempre positivo para , também é positiva.

Passo 4

Agora, vamos checar se a função é contínua. A função é contínua para porque não temos nenhum ponto de descontinuidade nesse intervalo.

Passo 5

Em seguida, precisamos ver se a função é monótona decrescente. Calculando a derivada de f'(x) = ddx ( 1raizx+2 ) = -12(x+2)^-3/2 :
Como para todo , a função é decrescente.

Passo 6

Com isso, podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral:
integral1^infty 1raizx+2 , dx
Fazendo a substituição integral3^infty 1raizu , du = integral3^infty u^-1/2 , du , , temos:

Passo 7

Integrando:
integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C
Então, avaliando de 3 até o infinito:
limb to infty [ 2raizb - 2raiz3 ] = infty

Resposta

Como a integral diverge para infinito, pelo Teste da Integral, a série não converge.

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