Use o Teste da Integral para verificar a convergência ou não das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para verificar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Integral, que é uma ferramenta da matemática para determinar a convergência de séries. Precisamos lembrar que esse teste envolve comparar a série com uma integral equivalente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está sendo somada na série. No caso, nossa função é . Essa função precisa ser positiva, contínua e monótona decrescente para aplicarmos o Teste da Integral.
Passo 3
Vamos verificar se é positiva. Como o denominador é sempre positivo para , também é positiva.
Passo 4
Agora, vamos checar se a função é contínua. A função é contínua para porque não temos nenhum ponto de descontinuidade nesse intervalo.
Passo 5
Em seguida, precisamos ver se a função é monótona decrescente. Calculando a derivada de :
Como para todo , a função é decrescente.
Passo 6
Com isso, podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição , , temos:
Passo 7
Integrando:
Então, avaliando de 3 até o infinito:
Resposta
Como a integral diverge para infinito, pelo Teste da Integral, a série não converge.