Calcule a soma das séries abaixo.
sumn=1^infty e^-n

Passo 1

Vamos resolver a soma da série infinita sumn=1^infty e^-n. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma sequência de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Precisamos identificar o primeiro termo e a razão dessa série para aplicar a fórmula correta.

Passo 2

Primeiro, identificamos o primeiro termo da série. Quando n = 1, o termo é e^-1.

Passo 3

Em seguida, determinamos a razão da série. Observamos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por e^-1. Portanto, a razão r é e^-1.

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita, que é válida quando |r| < 1:
sumn=1^infty ar^n-1 = a1 - r
Onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão da série.

Passo 5

Vamos aplicar os valores que encontramos na fórmula. Aqui, o primeiro termo a é e^-1 e a razão r também é e^-1:
sumn=1^infty e^-n = e^-11 - e^-1

Resposta

Portanto, a soma da série é 1e - 1.

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